# Ableitung der Betragsfunktion |x|: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von |x| ist x/|x|: 1 für x > 0, -1 für x < 0 und nicht definiert bei 0. Mit Beweis, dem Knick bei 0 und der Kettenregel für |u|.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-der-betragsfunktion
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$ für $x \ne 0$
- **Abschnittsweise:** $1$ für $x > 0$, $-1$ für $x < 0$
- **Bei x = 0:** Existiert nicht, der Graph hat einen Knick
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\lvert u\rvert = \dfrac{u}{\lvert u\rvert}\,u'$
- **Als Integral:** $\int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\lvert x\rvert$ ist $1$ für $x > 0$ und $-1$ für $x < 0$.
- Kompakt geschrieben ist das $\frac{x}{\lvert x\rvert}$, auch $\operatorname{sgn}(x)$ genannt.
- Bei $x = 0$ stimmen linke und rechte Steigung nicht überein, also ist $\lvert x\rvert$ dort nicht differenzierbar.
- $\lvert x\rvert$ ist überall stetig und zeigt damit, dass aus Stetigkeit keine Differenzierbarkeit folgt.

Die **Ableitung von $\lvert x\rvert$ ist $\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$**. Anschaulich gesagt: Rechts von $0$ ist die Steigung $1$, links von $0$ ist sie $-1$, und genau bei $0$ gibt es keine Steigung.

$$\frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$$

## Graph von |x| und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = |x| und seiner Ableitung'
caption: 'Die V-Form hat links die Steigung $-1$ und rechts die Steigung $1$. Die Ableitung springt bei $x = 0$ und ist dort nicht definiert.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 4]
functions:
  - expr: abs(x)
    label: y = |x|
  - expr: abs(x)/x
    label: Ableitung
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'Knick, keine Ableitung']
```

## Beweis, Abschnitt für Abschnitt

Zerlege $\lvert x\rvert$ in seine zwei Abschnitte. Für $x > 0$ ist $\lvert x\rvert = x$, die Ableitung ist also $1$. Für $x < 0$ ist $\lvert x\rvert = -x$, die Ableitung ist also $-1$. In beiden Fällen ist das Ergebnis gleich $\frac{x}{\lvert x\rvert}$: Teilst du eine Zahl durch ihren Betrag, bleibt nur ihr Vorzeichen übrig.

## Warum es bei 0 keine Ableitung gibt

Sieh dir den Differenzenquotienten an der Stelle $x = 0$ an:

$$\frac{\lvert 0 + h\rvert - \lvert 0\rvert}{h} = \frac{\lvert h\rvert}{h}$$

Von rechts ($h > 0$) ist das $1$. Von links ($h < 0$) ist es $-1$. Die einseitigen Grenzwerte stimmen nicht überein, also existiert der Grenzwert nicht. Der Graph hat einen scharfen Knick, und keine einzelne Tangente passt dazu. Das ist das klassische Beispiel in der Lektion zur [Differenzierbarkeit](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability).

Man kann das Ergebnis auch als $\frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \frac{x}{\sqrt{x^2}}$ schreiben, denn $\lvert x\rvert = \sqrt{x^2}$. Leitest du $\sqrt{x^2}$ mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) ab, erhältst du $\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}$, also dieselbe Formel.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von |u|

$$\frac{d}{dx}\,\lvert u\rvert = \frac{u}{\lvert u\rvert}\cdot u', \qquad u \ne 0$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\lvert 3x\rvert = \frac{3x}{\lvert 3x\rvert}\cdot 3$, also $3$ für $x > 0$ und $-3$ für $x < 0$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\lvert x^2 - 4\rvert = \frac{(x^2 - 4)\cdot 2x}{\lvert x^2 - 4\rvert}$. Für $\lvert x\rvert > 2$ ist das $2x$. Für $\lvert x\rvert < 2$ ist es $-2x$. Bei $x = \pm 2$ hat der Graph Knicke und keine Ableitung.

**Beispiel 3.** $\frac{d}{dx}\lvert\sin x\rvert = \frac{\sin x\cos x}{\lvert\sin x\rvert}$, nicht definiert überall dort, wo $\sin x = 0$ ist.

## Eine differenzierbare Funktion aus |x|

Multiplizierst du mit $x$, wird der Knick geglättet. Nimm $f(x) = x\lvert x\rvert$. Für $x > 0$ ist das $x^2$, für $x < 0$ ist es $-x^2$, also gilt $f'(x) = 2\lvert x\rvert$. Bei $0$ ist der Differenzenquotient $\frac{h\lvert h\rvert}{h} = \lvert h\rvert \to 0$, also existiert $f'(0) = 0$. Dieses $f$ ist außerdem eine Stammfunktion von $2\lvert x\rvert$, und so bestimmt man auch das [Integral von |x|](/integrals/absolute-value-of-x).

## Typische Fehler

1. **$\lvert 1\rvert = 1$ als Antwort.** Die Ableitung ist nicht überall $1$. Auf der linken Seite ist sie $-1$.
2. **$f'(0) = 0$ behaupten.** Der Knick hat keine Tangente, also existiert die Ableitung bei $0$ nicht.
3. **Glauben, dass stetig auch differenzierbar heißt.** $\lvert x\rvert$ ist bei $0$ stetig, hat dort aber trotzdem keine Ableitung.

Zur Funktion selbst siehe die Seite zur [Betragsfunktion](/functions/absolute-value-function).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von |x|?

Sie lautet $\frac{x}{\lvert x\rvert}$, also $1$ für $x > 0$ und $-1$ für $x < 0$. Bei $x = 0$ existiert sie nicht.

### Warum ist |x| bei 0 nicht differenzierbar?

Die Steigung von rechts ist $1$, die Steigung von links ist $-1$. Die beiden einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten sind verschieden, also existiert die Ableitung nicht.

### Was ist die Ableitung von |x| an der Stelle x = 3?

Sie ist $1$, denn in der Nähe von $x = 3$ ist die Funktion einfach $x$.

### Was ist die Ableitung von |x - 2|?

Sie lautet $\frac{x - 2}{\lvert x - 2\rvert}$: $1$ für $x > 2$, $-1$ für $x < 2$ und nicht definiert bei $x = 2$.