# Ableitung der dritten Wurzel von x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung der dritten Wurzel von x ist 1/(3∛(x²)). Mit Beweisen über Potenzregel und Grenzwert, der senkrechten Tangente bei 0 und der Kettenregel.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-der-dritten-wurzel-von-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ für $x \ne 0$
- **Als Potenz:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{1/3} = \tfrac{1}{3}x^{-2/3}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$
- **Bei x = 0:** Nicht differenzierbar, die Tangente ist senkrecht
- **Definitionsbereich:** Alle reellen Zahlen, anders als bei $\sqrt{x}$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\sqrt[3]{x}$ ist $\frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
- Die dritte Wurzel ist auch für negative $x$ definiert, und die Formel gilt dort ebenfalls.
- Die Ableitung ist immer positiv, also steigt $\sqrt[3]{x}$ immer.
- Bei $x = 0$ ist die Steigung unendlich, dort existiert die Ableitung also nicht.

Die **Ableitung von $\sqrt[3]{x}$ ist $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$**, für jedes $x \ne 0$. Schreibe die dritte Wurzel als Potenz $x^{1/3}$, und die Potenzregel erledigt den Rest.

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

## Graph von ∛x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = ∛x und seiner Ableitung'
caption: 'Die dritte Wurzel verläuft mit senkrechter Tangente durch den Ursprung. Ihre Ableitung ist auf beiden Seiten positiv und schießt in der Nähe von $x = 0$ nach oben.'
x: [-6, 6]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: x^(1/3)
    label: y = ∛x
  - expr: 1/(3abs(x)^(2/3))
    label: y = 1/(3∛(x²)) (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), Steigung 1/3']
  - [-1, -1, '(-1, -1), Steigung 1/3']
```

Die Ableitung ist bei $x = 1$ und $x = -1$ gleich. Da $x^2$ für $x$ und $-x$ denselben Wert hat, ist die Ableitung eine gerade Funktion.

## Beweis mit der Potenzregel

Mit der [Potenzregel](/rules/power-rule) für $n = \frac{1}{3}$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$$

Ein negativer Exponent bringt die Potenz in den Nenner, und es gilt $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

Sei $a = \sqrt[3]{x + h}$ und $b = \sqrt[3]{x}$. Dann gilt $a^3 - b^3 = h$. Mit der Formel für die Differenz zweier Kuben $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ folgt

$$\frac{a - b}{h} = \frac{a - b}{a^3 - b^3} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2}$$

Für $h \to 0$ geht $a \to b$, der Grenzwert ist also $\frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Dafür braucht man $b \ne 0$, und genau deshalb scheitert es bei $x = 0$.

## Warum die Ableitung bei 0 nicht existiert

Bei $x = 0$ ist der Differenzenquotient $\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}$, und der geht von beiden Seiten gegen $+\infty$. Die Kurve ist stetig, hat aber eine senkrechte Tangente. Das ist ein Standardbeispiel für eine Funktion, die stetig, aber nicht [differenzierbar](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) ist.

## Kettenregel und andere Wurzeln

Für die dritte Wurzel eines Ausdrucks liefert die [Kettenregel](/rules/chain-rule)

$$\frac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\sqrt[3]{5x - 1} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x - 1)^2}}$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\,6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x^{-2/3}$.

**Beispiel 3.** Jede Wurzel funktioniert genauso: $\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}$. Für $n = 4$ ist das $\frac{1}{4}x^{-3/4}$.

**Beispiel 4: eine Tangente.** Bei $x = 8$ ist $\sqrt[3]{8} = 2$ und die Steigung $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$. Also gilt $\sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{12} \approx 2.083$. Der wahre Wert ist ungefähr $2.080$.

## Typische Fehler

1. **$x^{-1/3}$ schreiben.** Der neue Exponent ist $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
2. **Die 3 an die falsche Stelle setzen.** Das Ergebnis ist $\frac{1}{3}x^{-2/3}$, nicht $3x^{-2/3}$.
3. **Glauben, negative $x$ seien verboten.** Dritte Wurzeln aus negativen Zahlen sind reell, die Ableitung existiert also für jedes $x$ außer $0$.

Zum Vergleich: Die [Ableitung von √x](/derivatives/sqrt-x) ist nur für $x > 0$ definiert.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung der dritten Wurzel von x?

Sie lautet $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, also dasselbe wie $\frac{1}{3}x^{-2/3}$.

### Ist die dritte Wurzel von x bei 0 differenzierbar?

Nein. Die Funktion ist bei $0$ stetig, aber der Differenzenquotient $\frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3}$ wächst über alle Grenzen, also ist die Tangente im Ursprung senkrecht.

### Was ist die Ableitung von x^(2/3)?

Mit der Potenzregel: $\frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. Anders als bei $x^{1/3}$ wechselt diese Ableitung bei $0$ das Vorzeichen, der Graph hat dort eine Spitze.

### Was ist die Ableitung der dritten Wurzel von (x² + 1)?

Mit der Kettenregel: $\frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot 2x = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$.