# Ableitung einer Konstanten: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung einer Konstanten ist 0. Mit Begründung über den Differenzenquotienten und kniffligen Fällen wie π², e³, ln 5 und Konstanten als Faktor.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-einer-konstanten
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,c = 0 $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $0$ für jede Konstante $c$
- **Graph:** Eine waagerechte Gerade, sie hat die Steigung $0$
- **Addierte Konstante:** $\dfrac{d}{dx}\big(f(x) + c\big) = f'(x)$
- **Konstanter Faktor:** $\dfrac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x)$
- **Als Integral:** $\int c\,dx = cx + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung jeder Konstanten ist $0$, denn eine waagerechte Gerade hat keine Steigung.
- Zahlen wie $\pi^2$, $e^3$, $\ln 5$ und $\sin 1$ sind Konstanten, ihre Ableitungen sind also $0$.
- Eine addierte Konstante fällt beim Ableiten weg, ein konstanter Faktor bleibt stehen.
- Deshalb hat jede Stammfunktion ein $+C$: Die Konstante könnte beliebig sein.

Die **Ableitung einer Konstanten ist $0$**. Ist $f(x) = c$ für eine feste Zahl $c$, dann gilt $f'(x) = 0$ für jedes $x$.

$$\frac{d}{dx}\,c = 0$$

## Graph einer Konstanten und ihrer Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = 3 und seiner Ableitung y = 0'
caption: 'Eine konstante Funktion ist eine waagerechte Gerade. Ihre Steigung ist überall $0$, also liegt die Ableitung auf der $x$-Achse.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: 3
    label: y = 3
  - expr: 0
    label: y = 0 (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [1, 3, 'Steigung 0']
```

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

Für $f(x) = c$ sind $f(x + h)$ und $f(x)$ beide gleich $c$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

Der Zähler ist für jedes $h \ne 0$ genau $0$, also ist der Grenzwert $0$. Das ist die [Konstantenregel](/rules/constant-rule).

Du siehst es auch mit der [Potenzregel](/rules/power-rule): $c = c\,x^0$, und $\frac{d}{dx}\,x^0 = 0 \cdot x^{-1} = 0$.

## Versteckte Konstanten erkennen

Schwierig ist nicht die Regel, sondern eine Konstante als solche zu erkennen. Alles, was die Variable nicht enthält, ist eine Konstante, egal wie es aussieht.

| Ausdruck | Konstante? | Ableitung nach $x$ |
| --- | --- | --- |
| $7$ | ja | $0$ |
| $\pi^2$ | ja | $0$ |
| $e^3$ | ja | $0$ |
| $\ln 5$ | ja | $0$ |
| $\sin\frac{\pi}{6}$ | ja, der Wert ist $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $a^2 + b$ (andere Buchstaben als $x$) | ja, wenn sie nicht von $x$ abhängen | $0$ |
| $e^x$ | nein | $e^x$ |

## Addierte Konstanten und konstante Faktoren

Eine **addierte** Konstante fällt weg:

$$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 10\right) = 2x + 0 = 2x$$

Ein **konstanter Faktor** bleibt nach der [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule) stehen:

$$\frac{d}{dx}\left(10x^2\right) = 10 \cdot 2x = 20x$$

Der Grund ist geometrisch. Addierst du $10$, verschiebst du den Graphen nach oben, und das ändert keine einzige Steigung. Multiplizierst du mit $10$, streckst du den Graphen, und jede Steigung wird zehnmal so steil.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\left(4x^3 - 2x + \pi\right) = 12x^2 - 2$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\left(e^2 x\right) = e^2$. Hier ist $e^2$ ein Faktor vor $x$, bleibt also stehen, und die [Ableitung von x](/derivatives/x) ist $1$.

**Beispiel 3.** $\frac{d}{dx}\left(\ln 3 + \ln x\right) = \frac{1}{x}$. Der Term $\ln 3$ ist eine Konstante. Siehe die [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x).

**Beispiel 4: andere Variablen.** Wenn bei $\frac{d}{dx}(x^2 y^3)$ das $y$ nicht von $x$ abhängt, behandelst du $y^3$ als konstanten Faktor: Das Ergebnis ist $2xy^3$. Aus dieser Idee werden in Analysis 3 die [partiellen Ableitungen](/blog/partial-derivatives).

## Typische Fehler

1. **$e^2$ ableiten, als wäre es $e^x$.** $\frac{d}{dx}e^2 = 0$, nicht $e^2$ oder $2e$.
2. **Einen konstanten Faktor weglassen.** $\frac{d}{dx}(3x) = 3$, nicht $0$.
3. **Die Potenzregel auf eine konstante Basis anwenden.** $\frac{d}{dx}\pi^3$ ist $0$, nicht $3\pi^2$.

Umgekehrt hat jede Stammfunktion ein $+C$, weil Konstanten beim Ableiten zu $0$ werden. Siehe das [Integral einer Konstanten](/integrals/constant).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung einer Konstanten?

Sie ist $0$. Eine konstante Funktion $f(x) = c$ ändert sich nie, ihre Änderungsrate ist also null.

### Was ist die Ableitung von e?

Die Zahl $e \approx 2.718$ ist eine Konstante, ihre Ableitung ist also $0$. Verwechsle sie nicht mit $e^x$, dessen Ableitung $e^x$ ist.

### Was ist die Ableitung von Pi?

Sie ist $0$. $\pi$ ist eine feste Zahl, ungefähr $3.14159$.

### Was ist die Ableitung von 5x?

Sie ist $5$. Die $5$ ist ein konstanter Faktor, keine addierte Konstante, also bleibt sie stehen: $5 \cdot \frac{d}{dx}x = 5$.