# Ableitung von 1/x²: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von 1/x² ist -2/x³. Mit Beweisen über Potenz- und Quotientenregel, der Kettenregel für 1/u², einem Graphen und Beispielen wie 1/(3x - 2)².

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-1-durch-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-\dfrac{2}{x^3}$ für $x \ne 0$
- **Als Potenz:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-3}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u^2} = -\dfrac{2u'}{u^3}$
- **Zweite Ableitung:** $\dfrac{6}{x^4}$
- **Als Integral:** $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\frac{1}{x^2}$ ist $-\frac{2}{x^3}$.
- Schreibe $\frac{1}{x^2}$ vor dem Ableiten als $x^{-2}$. Der Exponent geht von $-2$ auf $-3$.
- Die Ableitung ist für $x < 0$ positiv und für $x > 0$ negativ, der Graph steigt also erst und fällt dann.
- Für $\frac{1}{u^2}$ nimmst du die Kettenregel: $-\frac{2u'}{u^3}$.

Die **Ableitung von $\dfrac{1}{x^2}$ ist $-\dfrac{2}{x^3}$**. Hol die Potenz als $x^{-2}$ nach oben, und die Potenzregel erledigt den Rest in einem Schritt.

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3}, \qquad x \ne 0$$

## Graph von 1/x² und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = 1/x² und seiner Ableitung y = -2/x³'
caption: 'Links steigt $\frac{1}{x^2}$ zur Asymptote hin an, also ist die Ableitung positiv. Rechts fällt der Graph, also ist die Ableitung negativ.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x^2
    label: y = 1/x²
  - expr: -2/x^3
    label: y = -2/x³ (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), Steigung -2']
  - [-1, 1, '(-1, 1), Steigung 2']
```

Der Graph von $\frac{1}{x^2}$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, deshalb sind seine Steigungen an den Stellen $x$ und $-x$ entgegengesetzt gleich. Darum ist die Ableitung eine ungerade Funktion.

## Beweis mit der Potenzregel

$$\frac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-2 - 1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$

Das ist die [Potenzregel](/rules/power-rule) mit $n = -2$. Aufpassen musst du nur bei der Subtraktion: $-2 - 1 = -3$.

## Beweis mit der Quotientenregel

Mit Zähler $1$ und Nenner $x^2$ liefert die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule)

$$\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$$

Gleiches Ergebnis, mehr Arbeit. Als Potenz umzuschreiben ist die schnellere Gewohnheit.

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

$$\frac{\frac{1}{(x + h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} = \frac{x^2 - (x + h)^2}{h\,x^2(x + h)^2} = \frac{-2x - h}{x^2(x + h)^2}$$

Für $h \to 0$ wird daraus $\frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von 1/u²

$$\frac{d}{dx}\,u^{-2} = -2u^{-3}\cdot u' = -\frac{2u'}{u^3}$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(3x - 2)^2} = -\frac{2 \cdot 3}{(3x - 2)^3} = -\frac{6}{(3x - 2)^3}$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^3} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^3}$.

**Beispiel 3.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2(-\sin x)}{\cos^3 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$. Wegen $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ passt das zur [Ableitung von sec²x](/derivatives/sec-squared-x), also $2\sec^2 x\tan x$.

## Weitere Rechenbeispiele

**Beispiel 4: ein Gesetz aus der Physik.** Gravitation und Lichtintensität folgen $F = \frac{k}{r^2}$. Die Änderungsrate in Abhängigkeit vom Abstand ist $\frac{dF}{dr} = -\frac{2k}{r^3}$. Verdoppelst du den Abstand, sinkt die Kraft auf ein Viertel und die Änderungsrate auf ein Achtel.

**Beispiel 5: zweite Ableitung.** $\frac{d}{dx}\left(-2x^{-3}\right) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$. Sie ist überall positiv, also sind beide Äste linksgekrümmt.

## So merkst du es dir

Sieh $\frac{1}{x^2}$ als Potenz, die zufällig im Nenner steht. Hol sie als $x^{-2}$ nach oben, wende die Potenzregel wie bei jeder anderen Potenz an und schreib das Ergebnis wieder als Bruch, wenn du willst. Dieselben drei Schritte funktionieren auch für $\frac{1}{x^3}$, $\frac{1}{x^{10}}$ oder $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Ein schneller Vorzeichencheck hilft ebenfalls: Für positive $x$ fällt die Kurve, also muss die Ableitung dort negativ sein, und $-\frac{2}{x^3}$ ist es.

## Typische Fehler

1. **$-2x^{-1}$ schreiben.** Eins weniger als $-2$ ist $-3$.
2. **Die Ableitung des Nenners umdrehen.** $\frac{1}{2x}$ ist nicht die Ableitung von $\frac{1}{x^2}$.
3. **Das Minuszeichen verlieren.** Der Exponent $-2$ kommt als negativer Faktor nach vorne.

Rückwärts gelesen steht $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$ auf der Seite zum [Integral von 1/x²](/integrals/1-over-x-squared). Zum Vergleich: die [Ableitung von 1/x](/derivatives/1-over-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von 1/x²?

Sie lautet $-\frac{2}{x^3}$. Schreibe $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ und wende die Potenzregel an: $-2x^{-3}$.

### Was ist die Ableitung von 3/x²?

Sie lautet $3 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) = -\frac{6}{x^3}$.

### Was ist die Ableitung von 1/(x + 1)²?

Mit der Kettenregel erhältst du $-2(x + 1)^{-3} \cdot 1 = -\frac{2}{(x + 1)^3}$.

### Ist die Ableitung von 1/x² gleich 1/(2x)?

Nein. Den Nenner abzuleiten und den Bruch umzudrehen funktioniert nicht. Richtig ist $-\frac{2}{x^3}$.