# Ableitung von 1/x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von 1/x ist -1/x². Mit Beweis über den Differenzenquotienten, der Potenzregel für x⁻¹, der Kettenregel für 1/u und Beispielen wie 1/(2x + 5).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-1-durch-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-\dfrac{1}{x^2}$ für $x \ne 0$
- **Als Potenz:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{-1} = -x^{-2}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u} = -\dfrac{u'}{u^2}$
- **Vorzeichen:** Immer negativ, also fällt $\frac{1}{x}$ auf beiden Seiten von $0$
- **Als Integral:** $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\frac{1}{x}$ ist $-\frac{1}{x^2}$.
- Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{-1}$, dann liefert die Potenzregel $-x^{-2}$.
- Für den Kehrwert eines beliebigen Ausdrucks gilt $\frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}$.
- Verwechsle das nicht mit $\ln x$: Erst $\ln x$ hat die Ableitung $\frac{1}{x}$.

Die **Ableitung von $\dfrac{1}{x}$ ist $-\dfrac{1}{x^2}$**. Das Minuszeichen zeigt dir, dass die Kurve auf beiden Seiten der senkrechten Asymptote immer bergab geht.

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}, \qquad x \ne 0$$

## Graph von 1/x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = 1/x und seiner Ableitung y = -1/x²'
caption: 'Beide Äste von $\frac{1}{x}$ fallen von links nach rechts, also ist die Ableitung überall dort negativ, wo sie existiert.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
  - expr: -1/x^2
    label: y = -1/x² (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), Steigung -1']
```

In der Nähe von $x = 0$ verlaufen die Äste fast senkrecht, und $-\frac{1}{x^2}$ ist eine riesige negative Zahl. Weit weg von $0$ wird die Kurve flach, und $-\frac{1}{x^2}$ nähert sich $0$.

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$$

Bring die Brüche im Zähler auf den gemeinsamen Nenner $x(x + h)$:

$$\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}$$

Teile durch $h$ und lass $h \to 0$ gehen:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{-1}{x(x + h)} = -\frac{1}{x^2}$$

## Beweis mit der Potenzregel

Wegen $\frac{1}{x} = x^{-1}$ liefert die [Potenzregel](/rules/power-rule) $-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$. Die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) bestätigt das: $\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von 1/u

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2}\cdot u' = -\frac{u'}{u^2}$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\frac{1}{2x + 5}$ | $2x + 5$ | $-\frac{2}{(2x + 5)^2}$ |
| $\frac{1}{x^2 + 1}$ | $x^2 + 1$ | $-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ |
| $\frac{1}{\sin x}$ | $\sin x$ | $-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$ |
| $\frac{1}{e^x + 1}$ | $e^x + 1$ | $-\frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$ |

Die dritte Zeile ist dasselbe wie $-\csc x\cot x$, die [Ableitung von csc x](/derivatives/csc-x).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine Summe.** $\frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}$. Setzt du das gleich $0$, erhältst du $x = \pm 1$. Dort hat $x + \frac{1}{x}$ seine Extrempunkte.

**Beispiel 2: eine Tangente.** An der Stelle $x = 2$ ist $y = \frac{1}{2}$ und die Steigung $-\frac{1}{4}$:

$$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{x}{4} + 1$$

**Beispiel 3: zweite Ableitung.** $\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Sie ist für $x > 0$ positiv und für $x < 0$ negativ, also ist der rechte Ast linksgekrümmt und der linke Ast rechtsgekrümmt.

## Typische Fehler

1. **$\ln x$ oder $\frac{1}{x^2}$ als Antwort.** Die Ableitung ist $-\frac{1}{x^2}$. Die Funktion $\ln x$ ist die Stammfunktion, nicht die Ableitung.
2. **Das Minuszeichen verlieren.** Bei $x^{-1}$ kommt $-1$ nach vorne.
3. **$x^0$ schreiben.** $-1$ um eins verringert ergibt $-2$, nicht $0$.
4. **$u'$ vergessen.** $\frac{d}{dx}\frac{1}{3x}$ ist $-\frac{3}{(3x)^2} = -\frac{1}{3x^2}$, nicht $-\frac{1}{9x^2}$.

Die Integralseite findest du unter [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x), und die Kurve selbst auf der Seite zur [Kehrwertfunktion](/functions/reciprocal-function).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von 1/x?

Die Ableitung von $\frac{1}{x}$ ist $-\frac{1}{x^2}$, für jedes $x \ne 0$.

### Was ist die Ableitung von 1/(2x)?

Schreibe es als $\frac{1}{2}x^{-1}$. Die Ableitung ist $-\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

### Was ist die Ableitung von 5/x?

Sie lautet $5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{5}{x^2}$.

### Welche Funktion hat die Ableitung 1/x?

Der natürliche Logarithmus: $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Deshalb gilt $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.