# Ableitung von arccos x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von arccos x ist −1/√(1 − x²). Mit Beweis, der Erklärung, warum sie das Negative der arcsin-Ableitung ist, Kettenregel-Beispielen und Graph.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-arccos-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ für $-1 < x < 1$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\arccos u = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
- **Definitionsbereich von arccos x:** $[-1, 1]$
- **Wertebereich von arccos x:** $[0, \pi]$
- **Wichtige Identität:** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\arccos x$ ist $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ für $-1 < x < 1$.
- Sie ist genau das Negative der Ableitung von $\arcsin x$, weil $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ gilt.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.
- Die Ableitung ist immer negativ, also ist $\arccos x$ streng monoton fallend.

Die **Ableitung von $\arccos x$ ist $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**. Sie sieht genauso aus wie die [Ableitung von arcsin x](/derivatives/arcsin-x), nur mit einem Minuszeichen davor, und dafür gibt es einen schönen Grund.

$$\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

## Graph von arccos x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = arccos x und seiner Ableitung'
caption: 'Der Arkuskosinus fällt von $\pi$ auf $0$. Seine Steigung ist $-1$ bei $x = 0$ und wird in der Nähe von $x = \pm 1$ sehr steil.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-4, 3.5]
functions:
  - expr: arccos(x)
    label: y = arccos x
    domain: [-1, 1]
  - expr: -1/sqrt(1-x^2)
    label: y = −1/√(1 − x²) (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [-0.97, 0.97]
points:
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [0, -1, 'Steigung −1']
```

## Beweis der Ableitung von arccos x

Sei $y = \arccos x$, also $\cos y = x$ mit $0 \le y \le \pi$. Mit [implizitem Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) erhältst du:

$$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$

Auf $[0, \pi]$ ist der Sinus nie negativ, also gilt $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. Damit folgt

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

## Ein schnellerer Beweis über arcsin

Für jedes $x$ in $[-1, 1]$ gilt

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor: Hat einer der spitzen Winkel den Sinus $x$, dann hat der andere den Kosinus $x$, und zusammen ergeben die beiden Winkel $\frac{\pi}{2}$. Leite beide Seiten ab. Die rechte Seite ist eine Konstante, ihre Ableitung ist also $0$:

$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{d}{dx}\arccos x = 0$$

Die Ableitung von arccos ist also die Ableitung von arcsin mit umgekehrtem Vorzeichen. So kannst du sie dir gut merken.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von arccos(u)

$$\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\arccos(3x)$ | $3x$ | $-\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$ |
| $\arccos(x^2)$ | $x^2$ | $-\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| $\arccos(\sqrt{x})$ | $\sqrt{x}$ | $-\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - x}}$ |
| $\arccos\!\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{x}{2}$ | $-\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Produktregel.** Für $f(x) = x^2\arccos x$ liefert die [Produktregel](/rules/product-rule)

$$f'(x) = 2x\arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**Beispiel 2: Steigung an einer Stelle.** Bei $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ist die Steigung von $\arccos x$

$$-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{1/2} = -2$$

**Beispiel 3: Tangente.** Bei $x = 0$ verläuft die Kurve durch $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ mit Steigung $-1$, die Tangente ist also $y = \frac{\pi}{2} - x$.

## Typische Fehler

1. **Das Minuszeichen weglassen.** Es ist der einzige Unterschied zu arcsin und geht am leichtesten verloren.
2. **$\cos^{-1} x = \sec x$ annehmen.** Der Kehrwert des Kosinus ist der Sekans. $\cos^{-1}$ bezeichnet die Umkehrfunktion.
3. **$u'$ vergessen.** $\frac{d}{dx}\arccos(5x) = -\frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$, nicht $-\frac{1}{\sqrt{1 - 25x^2}}$.
4. **Die Formel bei $x = \pm 1$ verwenden.** Dort ist die Tangente senkrecht, es gibt also keine Ableitung.

Beim Integrieren von $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ wirst du selten arccos sehen, denn $-\arcsin x + C$ beschreibt dieselbe Familie von Stammfunktionen. Graph und Wertebereich findest du auf der Seite zum [Arkuskosinus](/functions/arccosine), üben kannst du mit [Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von arccos x?

Die Ableitung von $\arccos x$ (auch $\cos^{-1} x$ geschrieben) ist $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ für $-1 < x < 1$.

### Warum ist die Ableitung von arccos x negativ?

Weil $\arccos x$ von $\pi$ auf $0$ fällt, während $x$ von $-1$ bis $1$ läuft. Eine fallende Funktion hat eine negative Ableitung.

### Was ist die Ableitung von arccos(2x)?

Mit der Kettenregel ist sie $-\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$, gültig für $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

### Was ist die Ableitung von arcsin x + arccos x?

Sie ist $0$. Die beiden Ableitungen heben sich auf, passend zur Identität $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, einer Konstanten.