# Ableitung von arccot x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von arccot x ist −1/(1 + x²). Mit Beweis aus cot y = x, dem Zusammenhang mit arctan, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-arccot-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-\dfrac{1}{1 + x^2}$ für jedes reelle $x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\dfrac{u'}{1 + u^2}$
- **Definitionsbereich von arccot x:** alle reellen Zahlen
- **Wertebereich von arccot x:** $(0, \pi)$
- **Wichtige Identität:** $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\operatorname{arccot} x$ ist $-\frac{1}{1 + x^2}$.
- Sie ist das Negative der arctan-Ableitung, weil $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$ gilt.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}$.
- Der Arkuskotangens ist immer fallend, am steilsten mit Steigung $-1$ bei $x = 0$.

Die **Ableitung von $\operatorname{arccot} x$ ist $-\dfrac{1}{1 + x^2}$**. Sie ist die [Ableitung von arctan x](/derivatives/arctan-x) mit einem Minuszeichen und gilt für jede reelle Zahl.

$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$$

## Graph von arccot x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = arccot x und seiner Ableitung'
caption: 'Der Arkuskotangens fällt von $\pi$ in Richtung $0$. Seine Steigung ist $-1$ bei $x = 0$ und geht weit weg vom Ursprung gegen $0$.'
x: [-6, 6]
y: [-1.5, 3.5]
functions:
  - expr: pi/2 - arctan(x)
    label: y = arccot x
  - expr: -1/(1+x^2)
    label: y = −1/(1 + x²) (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [0, -1, 'Steigung −1']
```

## Beweis aus cot y = x

Sei $y = \operatorname{arccot} x$, also $\cot y = x$ mit $0 < y < \pi$. Leite mit [implizitem Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) ab und nutze $\frac{d}{dy}\cot y = -\csc^2 y$ (siehe die [Ableitung von cot x](/derivatives/cot-x)):

$$-\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}$$

Die Identität $\csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2$ schließt den Beweis ab:

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$$

## Beweis über arctan

Mit dem Wertebereich $(0, \pi)$ hängen arccot und arctan so zusammen:

$$\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$$

Die Ableitung der Konstanten $\frac{\pi}{2}$ ist $0$, also ist die Ableitung von arccot einfach minus die Ableitung von arctan. Mit genau dieser Identität ist auch der Graph oben gezeichnet.

## Ein Hinweis zu Konventionen

Manche Bücher und Programme definieren $\operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}$. Diese Version hat den Wertebereich $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ und springt bei $x = 0$. Die Ableitung ist trotzdem überall dort dieselbe, wo die Funktion definiert ist:

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}$$

Du kannst die Formel also in beiden Fällen bedenkenlos verwenden. Nur die Funktionswerte unterscheiden sich.

## Mit der Kettenregel und Beispiele

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}$$

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $\operatorname{arccot}(3x)$ | $-\frac{3}{1 + 9x^2}$ |
| $\operatorname{arccot}(x^2)$ | $-\frac{2x}{1 + x^4}$ |
| $\operatorname{arccot}(\ln x)$ | $-\frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}$ |
| $\operatorname{arccot}(e^x)$ | $-\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |

**Rechenbeispiel.** Leite $f(x) = x\operatorname{arccot} x$ mit der [Produktregel](/rules/product-rule) ab:

$$f'(x) = \operatorname{arccot} x - \frac{x}{1 + x^2}$$

Bei $x = 1$: $\operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}$, also $f'(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0.285$.

## Typische Fehler

1. **$-\csc^2 x$ schreiben.** Das ist die Ableitung von $\cot x$, nicht die der Umkehrfunktion.
2. **Das Minuszeichen verlieren.** Der Arkuskotangens fällt, also muss seine Steigung negativ sein.
3. **$u'$ vergessen.** $\operatorname{arccot}(5x)$ ergibt $-\frac{5}{1 + 25x^2}$.
4. **Glauben, das Integral bräuchte arccot.** Da sich die Ableitungen nur im Vorzeichen unterscheiden, schreibt man $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ meist als $\arctan x + C$. Die Antwort $-\operatorname{arccot} x + C$ ist ebenfalls richtig, denn beide unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Alle sechs Ableitungen der Arkusfunktionen treten paarweise auf: arcsin und [arccos](/derivatives/arccos-x), arctan und arccot, [arcsec](/derivatives/arcsec-x) und arccsc. Die zweite Funktion jedes Paares hat ein Minuszeichen. Übe sie mit [Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von arccot x?

Die Ableitung von $\operatorname{arccot} x$ (auch $\cot^{-1} x$ geschrieben) ist $-\frac{1}{1 + x^2}$.

### Was ist die Ableitung von arccot(2x)?

Mit der Kettenregel ist sie $-\frac{2}{1 + 4x^2}$.

### Ist arccot x gleich arctan(1/x)?

Nur für $x > 0$. Für $x < 0$ unterscheiden sie sich um $\pi$. Wo beide definiert sind, haben sie aber in jedem Fall dieselbe Ableitung $-\frac{1}{1 + x^2}$.

### Was ist die Ableitung von arctan x + arccot x?

Sie ist $0$, denn die Summe ist die Konstante $\frac{\pi}{2}$.