# Ableitung von arcsec x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von arcsec x ist 1/(|x|√(x² − 1)). Woher der Betrag kommt, ein Beweis über arccos(1/x) und Beispiele zur Kettenregel.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-arcsec-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ für $\lvert x\rvert > 1$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \dfrac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}$
- **Definitionsbereich von arcsec x:** $x \le -1$ oder $x \ge 1$
- **Wertebereich von arcsec x:** $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
- **Ableitung von arccsc:** $-\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\operatorname{arcsec} x$ ist $\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ für $\lvert x\rvert > 1$.
- Der Betrag kommt vom Wertebereich $[0, \pi]$, durch den arcsec auf beiden Teilen seines Definitionsbereichs steigt.
- Wegen $\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}$ folgt die Ableitung aus der arccos-Regel und der Kettenregel.
- Die Ableitung von $\operatorname{arccsc} x$ ist derselbe Ausdruck mit Minuszeichen.

Die **Ableitung von $\operatorname{arcsec} x$ ist $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$**. Sie ist für $\lvert x\rvert > 1$ definiert, also genau für die Werte, die der Sekans annehmen kann.

$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad \lvert x\rvert > 1$$

Für $x > 1$, wo die meisten Aufgaben spielen, ist das einfach $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$.

## Graph von arcsec x

```graph
title: 'Graph von y = arcsec x, gezeichnet als arccos(1/x)'
caption: 'Beide Äste des Arkussekans steigen. Der rechte Ast beginnt bei $(1, 0)$, der linke endet bei $(-1, \pi)$. Beide nähern sich der Geraden $y = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-6, 6]
y: [-0.5, 3.5]
functions:
  - expr: arccos(1/x)
    label: y = arcsec x
    domain: [1, 6]
  - expr: arccos(1/x)
    label: y = arcsec x
    domain: [-6, -1]
  - expr: 1.5708
    label: y = π/2
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [-1, 3.1416, '(−1, π)']
```

Beide Äste steigen von links nach rechts, also ist die Ableitung überall positiv. Genau deshalb steht $\lvert x\rvert$ in der Formel: Ohne den Betrag würde die Formel für $x < -1$ negative Steigungen liefern, und das passt nicht zum Bild.

## Beweis über arccos

Mit dem üblichen Wertebereich von arcsec gilt diese Identität:

$$\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}$$

Leite mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) und der [Ableitung von arccos x](/derivatives/arccos-x) ab:

$$\frac{d}{dx}\arccos\frac{1}{x} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}$$

Vereinfache jetzt die Wurzel: $\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\lvert x\rvert}$. Also gilt

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{\lvert x\rvert}{x^2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$$

mit $x^2 = \lvert x\rvert^2$. Der Betrag entsteht ganz natürlich aus $\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert$.

## Mit der Kettenregel und Beispiele

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \frac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x^2) = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}}$ für $\lvert x\rvert > 1$. Hier ist $\lvert x^2\rvert = x^2$, es bleibt also kein Betrag übrig.

**Beispiel 2.** Für $x > 0$ gilt $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(e^x) = \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^{2x} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}$.

**Beispiel 3: Steigung an einer Stelle.** Bei $x = 2$ ist die Steigung von $\operatorname{arcsec} x$ gleich $\frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.289$. Wegen $\operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}$ lautet die Tangente $y = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}(x - 2)$.

## Die Ableitung von arccsc

Wegen $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$ sind die Ableitungen entgegengesetzt gleich:

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$$

## Typische Fehler

1. **Den Betrag weglassen** und dann für $x < -1$ negative Steigungen erhalten.
2. **Konventionen aus verschiedenen Lehrbüchern mischen.** Prüfe, welchen Wertebereich dein Kurs für arcsec verwendet, bevor du eine Formel übernimmst.
3. **$\sec^{-1} x$ mit $\cos x$ verwechseln.** $\sec^{-1}$ ist die Umkehrfunktion des Sekans, während $\frac{1}{\sec x} = \cos x$ gilt.
4. **Die Formel für $-1 < x < 1$ verwenden.** Kein Winkel hat einen Sekans zwischen $-1$ und $1$, also gibt es dort weder arcsec noch seine Ableitung.

Die Formel liefert auch ein Integral: $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert + C$. Mehr dazu findest du bei den [Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen](/practice-problems/inverse-trig-derivatives) und auf der Seite zu den [reziproken trigonometrischen Funktionen](/functions/reciprocal-trig-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von arcsec x?

Die Ableitung von $\operatorname{arcsec} x$ ist $\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ für $\lvert x\rvert > 1$. Für $x > 1$ ist das einfach $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$.

### Warum schreiben manche Bücher x√(x² − 1) ohne Betrag?

Diese Bücher wählen einen anderen Wertebereich für arcsec, nämlich $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$. Damit lautet die Formel $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$. Mit dem üblicheren Wertebereich $[0, \pi]$ brauchst du $\lvert x\rvert$.

### Was ist die Ableitung von arccsc x?

Sie lautet $-\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$, also das Negative der arcsec-Ableitung, weil $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$ gilt.

### Was ist die Ableitung von arcsec(2x)?

Mit der Kettenregel ist sie $\frac{2}{\lvert 2x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}}$, gültig für $\lvert x\rvert > \frac{1}{2}$.