# Ableitung von arcsin x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von arcsin x ist 1/√(1 − x²). Mit Beweis aus sin y = x, der Kettenregel für arcsin(u), einem Graphen und ausführlichen Rechenbeispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-arcsin-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ für $-1 < x < 1$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\arcsin u = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
- **Definitionsbereich von arcsin x:** $[-1, 1]$
- **Wertebereich von arcsin x:** $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- **Als Integral:** $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\arcsin x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, gültig für $-1 < x < 1$.
- Der Beweis nutzt implizites Differenzieren von $\sin y = x$ und die Identität $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.
- Die Ableitung ist immer positiv, also steigt $\arcsin x$ immer, und bei $x = \pm 1$ wächst sie über alle Grenzen.

Die **Ableitung von $\arcsin x$ ist $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**. Sie gilt auf dem offenen Intervall $-1 < x < 1$, wo der Arkussinus glatt verläuft.

$$\frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

## Graph von arcsin x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = arcsin x und seiner Ableitung'
caption: 'Die Steigung von $\arcsin x$ ist bei $x = 0$ am kleinsten, nämlich $1$, und wächst in der Nähe von $x = \pm 1$ über alle Grenzen.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-2, 4]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsin x
    domain: [-1, 1]
  - expr: 1/sqrt(1-x^2)
    label: y = 1/√(1 − x²) (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [-0.97, 0.97]
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'Steigung 1']
```

Die Ableitung ist nie negativ, also steigt $\arcsin x$ immer. Die kleinste Steigung ist $1$ im Ursprung, und an den Randpunkten $(\pm 1, \pm\frac{\pi}{2})$ verläuft die Kurve senkrecht.

## Beweis der Ableitung von arcsin x

Sei $y = \arcsin x$. Dann gilt $\sin y = x$ mit $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Leite beide Seiten mit [implizitem Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) ab:

$$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

Jetzt drückst du $\cos y$ durch $x$ aus. Aus $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ folgt $\cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Auf $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ist der Kosinus nie negativ, also nimmst du die positive Wurzel:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

Dieselbe Idee funktioniert für jede Umkehrfunktion, siehe die [Ableitung der Umkehrfunktion](/rules/inverse-function-rule).

## Mit der Kettenregel: Ableitung von arcsin(u)

Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) kommt die innere Ableitung in den Zähler:

$$\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\arcsin(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$ |
| $\arcsin(x^2)$ | $x^2$ | $\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| $\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)$, $a > 0$ | $\frac{x}{a}$ | $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ |
| $\arcsin(e^x)$ | $e^x$ | $\frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}$ |

Die dritte Zeile solltest du dir merken. Aus ihr folgt $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Produkt.** Leite $f(x) = x\arcsin x$ mit der [Produktregel](/rules/product-rule) ab:

$$f'(x) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**Beispiel 2: Steigung an einer Stelle.** Die Steigung von $y = \arcsin x$ bei $x = \frac{1}{2}$ ist

$$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$$

**Beispiel 3: eine Potenz von arcsin.** Bei $g(x) = (\arcsin x)^2$ ist die äußere Funktion ein Quadrat:

$$g'(x) = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

## Typische Fehler

1. **$\sin^{-1} x$ als $\frac{1}{\sin x}$ lesen.** Die $-1$ steht für die Umkehrfunktion, nicht für den Kehrwert.
2. **Die innere Ableitung vergessen.** $\frac{d}{dx}\arcsin(3x)$ ist $\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$, nicht $\frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$.
3. **Bei der Kettenregel nur $x$ quadrieren.** Unter der Wurzel brauchst du $1 - u^2$, also ergibt $\arcsin(x^2)$ den Ausdruck $\sqrt{1 - x^4}$, nicht $\sqrt{1 - x^2}$.
4. **Das Vorzeichen mit arccos verwechseln.** Die [Ableitung von arccos x](/derivatives/arccos-x) ist derselbe Ausdruck mit Minuszeichen.

Umgekehrt ist das [Integral von 1/√(1 − x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared) gleich $\arcsin x + C$, und für das [Integral von arcsin x](/integrals/arcsin-x) brauchst du partielle Integration. Übe weiter mit [Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen](/practice-problems/inverse-trig-derivatives) oder lies mehr über den [Arkussinus](/functions/arcsine).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von arcsin x?

Die Ableitung von $\arcsin x$ (auch $\sin^{-1} x$ geschrieben) ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ für $-1 < x < 1$.

### Was ist die Ableitung von arcsin(2x)?

Mit der Kettenregel ist sie $\frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$, gültig für $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

### Ist die Ableitung von arcsin x bei x = 1 definiert?

Nein. Bei $x = \pm 1$ ist der Nenner $\sqrt{1 - x^2}$ null, und der Graph von $\arcsin x$ hat eine senkrechte Tangente. Dort existiert die Ableitung also nicht.

### Ist sin⁻¹ x dasselbe wie 1/sin x?

Nein. $\sin^{-1} x$ bezeichnet die Umkehrfunktion $\arcsin x$. Der Kehrwert $\frac{1}{\sin x}$ ist $\csc x$, und dessen Ableitung ist $-\csc x\cot x$.