# Ableitung von arctan x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von arctan x ist 1/(1 + x²). Mit Beweis aus tan y = x, Beispielen zur Kettenregel wie arctan(2x) und arctan(x²) und einem Graphen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-arctan-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\dfrac{1}{1 + x^2}$ für jedes reelle $x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}$
- **Definitionsbereich von arctan x:** alle reellen Zahlen
- **Wertebereich von arctan x:** $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
- **Als Integral:** $\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\arctan x$ ist $\frac{1}{1 + x^2}$ und gilt für jedes reelle $x$.
- Der Beweis nutzt $\tan y = x$ und die Identität $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$.
- Die Steigung ist bei $x = 0$ am größten, nämlich $1$, und geht für $x \to \pm\infty$ gegen $0$.

Die **Ableitung von $\arctan x$ ist $\dfrac{1}{1 + x^2}$**. Anders als bei arcsin und arccos gibt es keine Wurzel und keine Einschränkung des Definitionsbereichs: Die Formel gilt für jede reelle Zahl.

$$\frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$

## Graph von arctan x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = arctan x und seiner Ableitung y = 1/(1 + x²)'
caption: 'Der Arkustangens steigt im Ursprung am schnellsten, mit Steigung $1$, und flacht dann zu seinen waagerechten Asymptoten $y = \pm\frac{\pi}{2}$ hin ab.'
x: [-6, 6]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: 1/(1+x^2)
    label: y = 1/(1 + x²) (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'Steigung 1']
```

Die Ableitung ist eine glockenförmige Kurve, die immer positiv ist, also steigt $\arctan x$ immer. Weil die Ableitung an beiden Enden gegen $0$ geht, wird der Graph in Richtung $\pm\frac{\pi}{2}$ flach.

## Beweis der Ableitung von arctan x

Sei $y = \arctan x$, also $\tan y = x$ mit $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$. Leite beide Seiten mit [implizitem Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) ab und nutze die [Ableitung von tan x](/derivatives/tan-x):

$$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$$

Mit dem trigonometrischen Pythagoras $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ wird daraus ein Ausdruck in $x$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$$

Diesmal musst du kein Vorzeichen wählen, denn $1 + x^2$ ist immer positiv.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von arctan(u)

Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\arctan(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{1 + 4x^2}$ |
| $\arctan(x^2)$ | $x^2$ | $\frac{2x}{1 + x^4}$ |
| $\arctan(e^x)$ | $e^x$ | $\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |
| $\arctan(\sqrt{x})$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$ |
| $\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)$ | $\frac{x}{a}$ | $\frac{a}{a^2 + x^2}$ |

Aus der letzten Zeile folgt das Standardintegral $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: arctan von 1/x.** Für $x \ne 0$ gilt

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{x^2 + 1}$$

Das ist das Negative der arctan-Ableitung, also ist $\arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ auf jeder Seite von $0$ konstant. Die Summe ist $\frac{\pi}{2}$ für $x > 0$ und $-\frac{\pi}{2}$ für $x < 0$.

**Beispiel 2: Produktregel.** Für $f(x) = x\arctan x$:

$$f'(x) = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$$

**Beispiel 3: Tangente.** Bei $x = 1$ ist $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ und die Steigung $\frac{1}{2}$. Die Tangente lautet $y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1)$.

## Typische Fehler

1. **$\sec^2 x$ schreiben.** Das ist die Ableitung von $\tan x$, nicht von $\arctan x$.
2. **$\frac{1}{1 + x}$ schreiben.** Das $x$ ist quadriert. Probe: Bei $x = 1$ muss die Steigung $\frac{1}{2}$ sein.
3. **Vergessen, die ganze innere Funktion zu quadrieren.** $\arctan(3x)$ ergibt $1 + 9x^2$, nicht $1 + 3x^2$.
4. **Mit $\frac{1}{\tan x} = \cot x$ verwechseln.** $\tan^{-1} x$ ist die Umkehrfunktion.

Rückwärts gelesen liefert diese Ableitung das [Integral von 1/(1 + x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared). Für das [Integral von arctan x](/integrals/arctan-x) selbst brauchst du partielle Integration. Siehe auch den [Arkustangens](/functions/arctangent) und die [Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von arctan x?

Die Ableitung von $\arctan x$ (auch $\tan^{-1} x$ geschrieben) ist $\frac{1}{1 + x^2}$.

### Was ist die Ableitung von arctan(2x)?

Mit der Kettenregel ist sie $\frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

### Was ist die Ableitung von arctan(x²)?

Die innere Ableitung ist $2x$, also lautet das Ergebnis $\frac{2x}{1 + x^4}$.

### Was ist das Integral von 1/(1 + x²)?

Es ist $\arctan x + C$. Das ist die Ableitung von $\arctan x$ rückwärts gelesen.