# Ableitung von cos²x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von cos²x ist -2 sin x cos x, also -sin 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit Identitäten und Beispielen wie cos²(4x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-cos-quadrat-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-2\sin x\cos x$
- **Vereinfacht:** $-\sin 2x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u'$
- **Nicht zu verwechseln mit:** $\cos(x^2)$, dessen Ableitung $-2x\sin(x^2)$ ist
- **Integral von cos²x:** $\int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\cos^2 x$ ist $-2\sin x\cos x = -\sin 2x$.
- Lies $\cos^2 x$ als $(\cos x)^2$ und wende dann die Kettenregel an.
- Sie ist genau das Negative der Ableitung von $\sin^2 x$, weil $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ gilt.
- Die Identität $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ liefert dasselbe Ergebnis.

Die **Ableitung von $\cos^2 x$ ist $-2\sin x\cos x$**, und das ist dasselbe wie $-\sin 2x$.

$$\frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x$$

## Graph von cos²x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = cos²x und seiner Ableitung y = -sin 2x'
caption: '$\cos^2 x$ beginnt bei $x = 0$ auf seinem Maximum $1$ und fällt dann. Die Ableitung $-\sin 2x$ ist negativ, solange die Funktion fällt, und positiv, solange sie steigt.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)^2
    label: y = cos²x
  - expr: -sin(2x)
    label: y = -sin 2x (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'Maximum, Steigung 0']
  - [0.7854, 0.5, 'Steigung -1']
```

## Beweis mit der Kettenregel

$\cos^2 x$ bedeutet $(\cos x)^2$. Die äußere Funktion ist das Quadrat, die innere ist $\cos x$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) und der [Ableitung von cos x](/derivatives/cos-x):

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^2 = 2\cos x\cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x$$

Wegen $2\sin x\cos x = \sin 2x$ ist das $-\sin 2x$.

## Probe mit einer Formel zur Potenzreduktion

Nutze $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\right) = \frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x) = -\sin 2x$$

## Probe mit sin²x

Weil $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ gilt, muss die Ableitung $0 - \sin 2x$ sein, also das Negative der [Ableitung von sin²x](/derivatives/sin-squared-x). Die beiden Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden $y = \frac{1}{2}$, ihre Steigungen sind also immer entgegengesetzt.

## Varianten mit der Kettenregel

$$\frac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u' = -\sin(2u)\cdot u'$$

| Funktion | Ableitung | Vereinfacht |
| --- | --- | --- |
| $\cos^2(4x)$ | $-8\cos 4x\sin 4x$ | $-4\sin 8x$ |
| $\cos^2(x^2)$ | $-4x\cos(x^2)\sin(x^2)$ | $-2x\sin(2x^2)$ |
| $\cos^2(\pi x)$ | $-2\pi\cos(\pi x)\sin(\pi x)$ | $-\pi\sin(2\pi x)$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Wert.** Bei $x = \frac{\pi}{6}$ ist die Steigung $-\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$.

**Beispiel 2: eine höhere Potenz.** $\frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\cos^2 x\sin x$.

**Beispiel 3: ein Produkt.** $\frac{d}{dx}\left(x\cos^2 x\right) = \cos^2 x - x\sin 2x$.

**Beispiel 4: Wo ist die Kurve waagerecht?** $-\sin 2x = 0$ gilt für $x = \frac{k\pi}{2}$. Bei geraden Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$ ist $\cos^2 x = 1$ (Hochpunkte). Bei ungeraden Vielfachen ist $\cos^2 x = 0$ (Tiefpunkte).

## Wo dir das begegnet

Die Funktion $\cos^2 x$ taucht in Physik und Technik immer dann auf, wenn eine Kosinusschwingung quadriert wird. Die Leistung eines Wechselstroms ist proportional zu $\cos^2(\omega t)$, und die Intensität von polarisiertem Licht hinter einem Filter folgt $\cos^2\theta$. In jedem Fall sagt dir die Ableitung, wie schnell sich diese Größe ändert. Weil sich das Ergebnis zu $-\sin 2x$ vereinfacht, ist die Änderungsrate selbst eine einfache Schwingung, doppelt so schnell wie der ursprüngliche Kosinus. In dieser kurzen Form findest du außerdem leichter, wo die Steigung null, positiv oder negativ ist.

## Typische Fehler

1. **Das Minuszeichen verlieren.** Es steckt in der inneren Ableitung $-\sin x$.
2. **$2\cos x$ oder $-\sin^2 x$ als Antwort.** Keines davon wendet die Kettenregel richtig an.
3. **$\cos^2 x$ mit $\cos(x^2)$ verwechseln.** $\frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2)$.

Beim Integral von $\cos^2 x$ hilft dieselbe Identität, siehe das [Integral von cos²x](/integrals/cos-squared-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von cos²x?

Sie lautet $-2\sin x\cos x$, vereinfacht $-\sin 2x$.

### Was ist die Ableitung von cos²(2x)?

Mit der Kettenregel: $2\cos(2x)\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x)\cos(2x) = -2\sin(4x)$.

### Woher kommt das Minuszeichen?

Die innere Ableitung ist $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$. Von dort kommt das Minus.

### Was ist die Ableitung von cos²x - sin²x?

Wegen $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ ist die Ableitung $-2\sin 2x$. Summandenweise ergibt $-\sin 2x - \sin 2x$ dasselbe.