# Ableitung von cos x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von cos x ist -sin x. Mit Beweis über den Grenzwert, einem schnellen Beweis über sin x, der Kettenregel für cos(u) und Beispielen wie cos(5x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-cos-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-\sin x$ für jedes reelle $x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'$
- **Zweite Ableitung:** $-\cos x$
- **Einheit:** $x$ muss im Bogenmaß angegeben sein
- **Als Integral:** $\int \cos x\,dx = \sin x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$. Vergiss das Minuszeichen nicht.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'$.
- Jede "Ko"-Funktion (cos, cot, csc) hat ein Minuszeichen in ihrer Ableitung.
- Die Ableitungen von $\cos x$ wiederholen sich im Viererzyklus: $-\sin x$, $-\cos x$, $\sin x$, $\cos x$.

Die **Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$**. Der Kosinus startet bei $x = 0$ auf seinem Maximum und fällt dann, seine Steigung ist für kleine positive $x$ also negativ, passend zu $-\sin x < 0$.

$$\frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x$$

## Graph von cos x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = cos x und seiner Ableitung y = -sin x'
caption: 'Wo $\cos x$ fällt, liegt $-\sin x$ unterhalb der Achse. Im Hochpunkt $x = 0$ ist die Steigung $0$, bei $x = \frac{\pi}{2}$ ist sie $-1$.'
x: [-6.5, 6.5]
y: [-1.8, 1.8]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: -sin(x)
    label: y = -sin x (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'Hochpunkt, Steigung 0']
  - [1.5708, 0, 'Steigung -1']
```

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

Das Additionstheorem liefert $\cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h$. Also gilt

$$\frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} - \sin x\cdot\frac{\sin h}{h}$$

Mit $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$ und $\frac{\sin h}{h} \to 1$ folgt:

$$\frac{d}{dx}\cos x = \cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1 = -\sin x$$

## Ein schnellerer Beweis über sin x

Schreibe $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) und der [Ableitung von sin x](/derivatives/sin-x) gilt dann:

$$\frac{d}{dx}\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\cdot(-1) = -\sin x$$

wobei $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ verwendet wurde. Die $-1$ aus der inneren Funktion ist der Ursprung des Minuszeichens.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von cos(u)

$$\frac{d}{dx}\,\cos u = -\sin u\cdot u'$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\cos(5x)$ | $5x$ | $-5\sin(5x)$ |
| $\cos(x^3)$ | $x^3$ | $-3x^2\sin(x^3)$ |
| $\cos(1 - x)$ | $1 - x$ | $\sin(1 - x)$ |
| $\cos(\ln x)$ | $\ln x$ | $-\frac{\sin(\ln x)}{x}$ |

In der dritten Zeile heben sich zwei Minuszeichen auf.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Produkt.** $\frac{d}{dx}\left(e^x\cos x\right) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x)$, nach der [Produktregel](/rules/product-rule).

**Beispiel 2: ein Quotient.** $\frac{d}{dx}\frac{\cos x}{x} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}$, nach der [Quotientenregel](/rules/quotient-rule).

**Beispiel 3: Bewegung.** Die Position einer Feder ist $s(t) = 4\cos(2t)$. Ihre Geschwindigkeit ist $v(t) = -8\sin(2t)$, ihre Beschleunigung $a(t) = -16\cos(2t) = -4s(t)$. Die Beschleunigung zeigt also immer zurück zur Mitte.

**Beispiel 4: eine waagerechte Tangente.** $\frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x$. Das ist $0$, wenn $\sin x = \frac{1}{2}$ gilt, also bei $x = \frac{\pi}{6}$ und $x = \frac{5\pi}{6}$ in $[0, 2\pi)$.

## So merkst du dir das Vorzeichen

Stell dir den Einheitskreis vor. Der Kosinus ist die waagerechte Koordinate. Wächst der Winkel von $0$ aus, bewegt sich der Punkt nach oben und nach links, die waagerechte Koordinate wird also kleiner. Eine kleiner werdende Größe hat eine negative Änderungsrate, deshalb ist die Ableitung $-\sin x$ und nicht $+\sin x$.

## Typische Fehler

1. **Das Minuszeichen weglassen.** Das ist der häufigste Fehler bei trigonometrischen Ableitungen. Merke: "Ko"-Funktionen bekommen ein Minus.
2. **Durcheinander mit doppeltem Minus.** $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$, also positiv.
3. **$u'$ vergessen.** $\frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\sin(4x)$, nicht $-\sin(4x)$.

Die Umkehrung steht auf der Seite zum [Integral von cos x](/integrals/cos-x). Die Seite zur [Kosinusfunktion](/functions/cosine-function) behandelt ihren Graphen und wichtige Werte.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von cos x?

Die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$.

### Was ist die Ableitung von cos(2x)?

Mit der Kettenregel: $-\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

### Warum ist die Ableitung von cos x negativ?

Direkt rechts von $x = 0$ beginnt der Kosinus, von seinem Maximum aus zu fallen, während der Sinus positiv ist. Eine fallende Kurve hat eine negative Steigung, also muss die Ableitung $-\sin x$ sein und nicht $\sin x$.

### Was ist die Ableitung von cos²x?

Sie lautet $2\cos x \cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x = -\sin 2x$.