# Ableitung von cosh x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von cosh x ist sinh x, ohne Minuszeichen. Mit Beweis über Exponentialfunktionen, der Kettenlinie, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-cosh-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\sinh x$
- **Definition:** $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$
- **Wichtige Identität:** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- **Ableitung der Umkehrfunktion:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ für $x > 1$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\cosh x$ ist $\sinh x$, ohne Minuszeichen.
- Der Beweis nutzt $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ und die Ableitung von $e^{-x}$.
- Da $\sinh x$ bei $0$ das Vorzeichen wechselt, fällt $\cosh x$ für $x < 0$, steigt für $x > 0$ und hat bei $x = 0$ sein Minimum $1$.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$.

Die **Ableitung von $\cosh x$ ist $\sinh x$**. Achte auf das Vorzeichen: Anders als beim gewöhnlichen Kosinus gibt es kein Minus.

$$\frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x$$

## Beweis über die Definition

Der Kosinus hyperbolicus ist der Mittelwert von $e^x$ und $e^{-x}$:

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Leite jeden Teil einzeln ab. Die [Ableitung von eˣ](/derivatives/e-to-the-x) ist $e^x$, und die [Ableitung von e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) ist $-e^{-x}$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$$

## Graph von cosh x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = cosh x und seiner Ableitung y = sinh x'
caption: 'Der Kosinus hyperbolicus hat eine U-Form mit seinem Minimum bei $(0, 1)$. Seine Steigung $\sinh x$ ist links negativ, im Tiefpunkt null und rechts positiv.'
x: [-3, 3]
y: [-6, 6]
functions:
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x
  - expr: sinh(x)
    label: y = sinh x (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'Minimum (0, 1)']
  - [0, 0, 'Steigung 0']
```

Die Ableitung $\sinh x$ ist für $x < 0$ negativ und für $x > 0$ positiv, also liegt bei $x = 0$ ein Minimum. Die zweite Ableitung ist $\cosh x \ge 1 > 0$, also ist die Kurve überall linksgekrümmt.

## Die Kettenlinie

Eine Kette oder ein Seil, das unter seinem eigenen Gewicht durchhängt, nimmt die Form $y = a\cosh\frac{x}{a}$ an, die sogenannte Kettenlinie. Ihre Steigung an jeder Stelle ist

$$\frac{dy}{dx} = a\sinh\frac{x}{a}\cdot\frac{1}{a} = \sinh\frac{x}{a}$$

Das Seil ist also an seinem tiefsten Punkt waagerecht und wird zu den Aufhängepunkten hin steiler. Auch die Formel für die Bogenlänge vereinfacht sich schön, denn $1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u$:

$$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \sinh^2\frac{x}{a}} = \cosh\frac{x}{a}$$

## Mit der Kettenregel und Beispiele

$$\frac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$$

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $\cosh(2x)$ | $2\sinh(2x)$ |
| $\cosh(x^2)$ | $2x\sinh(x^2)$ |
| $\cosh(\ln x)$ | $\frac{\sinh(\ln x)}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$ |
| $\cosh^2 x$ | $2\cosh x\sinh x = \sinh 2x$ |
| $x\cosh x$ | $\cosh x + x\sinh x$ |

In der dritten Zeile gilt $\sinh(\ln x) = \frac{x - 1/x}{2}$, und Teilen durch $x$ ergibt $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$.

**Rechenbeispiel: die Identität prüfen.** Leite $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ ab:

$$2\cosh x\sinh x - 2\sinh x\cosh x = 0$$

Eine Ableitung von null bedeutet, dass der Ausdruck konstant ist. Bei $x = 0$ ist er $1 - 0 = 1$, und das beweist $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

## Ableitung von arcosh x

Für $x > 1$ hat der Areakosinus hyperbolicus die Ableitung

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$

Setze $\cosh y = x$ mit $y > 0$. Dann gilt $\sinh y\,y' = 1$ und $\sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$.

## Typische Fehler

1. **$-\sinh x$ schreiben.** Das Muster der Kreisfunktionen zu übernehmen ist der häufigste Fehler.
2. **Glauben, $\cosh x$ könne kleiner als 1 sein.** Sein Minimum ist $\cosh 0 = 1$.
3. **Die innere Ableitung vergessen.** $\frac{d}{dx}\cosh(4x) = 4\sinh(4x)$.

Siehe auch die [Ableitung von sinh x](/derivatives/sinh-x), die [Ableitung von tanh x](/derivatives/tanh-x) und die Seite zu den [Hyperbelfunktionen](/functions/hyperbolic-functions) mit Graphen und Identitäten.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von cosh x?

Die Ableitung von $\cosh x$ ist $\sinh x$.

### Ist die Ableitung von cosh x gleich −sinh x?

Nein. Das ist das Muster beim gewöhnlichen Kosinus, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$. Beim Kosinus hyperbolicus lautet das Ergebnis $+\sinh x$.

### Was ist die Ableitung von cosh(2x)?

Mit der Kettenregel ist sie $2\sinh(2x)$.

### Was ist die zweite Ableitung von cosh x?

Sie ist wieder $\cosh x$. Nach zweimaligem Ableiten bist du wieder am Anfang.