# Ableitung von cot x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von cot x ist -csc²x. Mit Beweis über die Quotientenregel, der Form -(1 + cot²x), der Kettenregel für cot(u) und Beispielen wie cot(2x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-cot-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-\csc^2 x$ für $x \ne k\pi$
- **Andere Formen:** $-\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u \cdot u'$
- **Steigung bei x = π/2:** $-\csc^2\frac{\pi}{2} = -1$
- **Als Integral:** $\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\cot x$ ist $-\csc^2 x$.
- Sie folgt aus der Quotientenregel für $\frac{\cos x}{\sin x}$ und $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Wegen $-\csc^2 x \le -1$ ist $\cot x$ auf jedem Intervall, auf dem er definiert ist, fallend.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u\cdot u'$.

Die **Ableitung von $\cot x$ ist $-\csc^2 x$**. Sie ist das "Ko"-Gegenstück zu $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$: Tausche zu den Kofunktionen und setze ein Minuszeichen davor.

$$\frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x$$

## Graph von cot x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = cot x und seiner Ableitung y = -csc²x'
caption: 'Ein Ast von $\cot x$ auf $(0, \pi)$. Er fällt immer, und am flachsten ist er bei $x = \frac{\pi}{2}$, wo die Steigung $-1$ beträgt.'
x: [-0.3, 3.5]
y: [-8, 6]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
    domain: [0.17, 2.97]
  - expr: -csc(x)^2
    label: y = -csc²x (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [0.37, 2.77]
vertical:
  - x: 3.1416
    label: x = π
points:
  - [1.5708, 0, 'Steigung -1']
```

## Beweis mit der Quotientenregel

Schreibe $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ und nutze die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule):

$$\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$$

Der Zähler ist $-1$, also gilt

$$\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$$

## Ein zweiter Beweis über tan x

Wegen $\cot x = (\tan x)^{-1}$ liefern die [Kettenregel](/rules/chain-rule) und die [Ableitung von tan x](/derivatives/tan-x)

$$-(\tan x)^{-2}\sec^2 x = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Gleiches Ergebnis. Mit der Identität $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ kannst du das Ergebnis auch als $-(1 + \cot^2 x)$ schreiben.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von cot(u)

$$\frac{d}{dx}\,\cot u = -\csc^2 u\cdot u'$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\cot(2x)$ | $2x$ | $-2\csc^2(2x)$ |
| $\cot(x^3)$ | $x^3$ | $-3x^2\csc^2(x^3)$ |
| $\cot\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $-\frac{\csc^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ |
| $\cot(\pi - x)$ | $\pi - x$ | $\csc^2(\pi - x)$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine Potenz.** $\frac{d}{dx}\cot^2 x = 2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x$.

**Beispiel 2: ein Produkt.** $\frac{d}{dx}(x\cot x) = \cot x - x\csc^2 x$.

**Beispiel 3: ein Wert.** Bei $x = \frac{\pi}{4}$ ist $\csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$, die Steigung ist also $-(\sqrt{2})^2 = -2$. Die Tangente durch $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ lautet $y = 1 - 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

**Beispiel 4: der Logarithmus des Sinus.** $\frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$. Leitest du noch einmal ab, erhältst du $-\csc^2 x$. Deshalb gilt $\int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$, siehe das [Integral von cot x](/integrals/cot-x).

## So merkst du es dir

Stell $\cot x$ neben $\tan x$. Die Ableitung des Tangens ist $\sec^2 x$. Tausche jede Funktion gegen ihr "Ko"-Gegenstück, Tangens gegen Kotangens und Sekans gegen Kosekans, und setze ein Minuszeichen davor. So erhältst du $-\csc^2 x$ ganz ohne Beweis. Derselbe Tausch funktioniert für jedes Paar trigonometrischer Ableitungen, du musst dir also nur drei der sechs Ergebnisse merken. Ein kurzer Blick auf den Graphen bestätigt das Vorzeichen: Jeder Ast des Kotangens fällt von links nach rechts, seine Steigung muss also immer negativ sein. In der Nähe der Asymptoten bei Vielfachen von $\pi$ wird er immer steiler, denn dort wächst $\csc^2 x$ über alle Grenzen.

## Typische Fehler

1. **Das Minuszeichen weglassen.** Der Kotangens fällt immer, also muss seine Ableitung negativ sein.
2. **$-\csc x\cot x$ schreiben.** Das ist die [Ableitung von csc x](/derivatives/csc-x), ein anderes Ergebnis.
3. **$-\sec^2 x$ schreiben.** Das Quadrat gehört zum Kosekans, dem Partner des Sekans.

Die ganze Familie auf einen Blick findest du im Artikel über die [Ableitungen trigonometrischer Funktionen](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von cot x?

Die Ableitung von $\cot x$ ist $-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

### Wie beweist man die Ableitung von cot x?

Schreibe $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Die Quotientenregel liefert $\frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

### Was ist die Ableitung von cot(2x)?

Mit der Kettenregel: $-2\csc^2(2x)$.

### Was ist die Ableitung von cot²x?

Sie lautet $2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x$.