# Ableitung von csc x (Kosekans): Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von csc x ist -csc x cot x. Mit Beweis über 1/sin x, der Kettenregel für csc(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie csc(3x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-csc-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-\csc x\cot x$ für $x \ne k\pi$
- **Mit sin und cos:** $-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u \cdot u'$
- **Steigung bei x = π/2:** $-\csc\frac{\pi}{2}\cot\frac{\pi}{2} = 0$
- **Als Integral:** $\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\csc x$ ist $-\csc x\cot x$.
- Sie spiegelt die Ableitung von $\sec x$: Tausche jede Funktion gegen ihr "Ko"-Gegenstück und setze ein Minuszeichen davor.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u\cdot u'$.
- Rückwärts gelesen ergibt sich $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$.

Die **Ableitung von $\csc x$ ist $-\csc x\cot x$**. Der Kosekans ist $\frac{1}{\sin x}$, und wie jede trigonometrische "Ko"-Funktion hat seine Ableitung ein Minuszeichen.

$$\frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x$$

## Graph von csc x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = csc x und seiner Ableitung y = -csc x cot x'
caption: 'Ein Ast von $\csc x$ auf $(0, \pi)$. Er fällt bis zu einem Minimum bei $x = \frac{\pi}{2}$, wo die Steigung $0$ ist, und steigt dann wieder.'
x: [-0.3, 3.5]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: csc(x)
    label: y = csc x
    domain: [0.16, 2.98]
  - expr: -csc(x)cot(x)
    label: y = -csc x cot x (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [0.38, 2.76]
vertical:
  - x: 3.1416
    label: x = π
points:
  - [1.5708, 1, 'Minimum, Steigung 0']
```

## Beweis mit der Kettenregel

Schreibe $\csc x = (\sin x)^{-1}$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}(\sin x)^{-1} = -(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$$

Zerlege den Bruch:

$$-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x\cot x$$

Das ist ein Spezialfall des Musters aus der [Ableitung von 1/x](/derivatives/1-over-x), $\frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}$, mit $u = \sin x$.

## Ein Muster, das sich lohnt

Die sechs trigonometrischen Ableitungen treten paarweise auf. Tausche jede Funktion gegen ihr "Ko"-Gegenstück und dreh das Vorzeichen um:

| Funktion | Ableitung | Partner | Ableitung |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ | $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |

Wenn du dir also die [Ableitung von sec x](/derivatives/sec-x) merkst, bekommst du die von $\csc x$ gratis dazu.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von csc(u)

$$\frac{d}{dx}\,\csc u = -\csc u\cot u\cdot u'$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\csc(3x) = -3\csc(3x)\cot(3x)$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\csc(x^2) = -2x\csc(x^2)\cot(x^2)$.

**Beispiel 3.** $\frac{d}{dx}\csc\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2}$.

## Weitere Rechenbeispiele

**Beispiel 4: ein Produkt.** $\frac{d}{dx}(x^2\csc x) = 2x\csc x - x^2\csc x\cot x$.

**Beispiel 5: eine Potenz.** $\frac{d}{dx}\csc^2 x = 2\csc x\cdot(-\csc x\cot x) = -2\csc^2 x\cot x$.

**Beispiel 6: ein Wert.** Bei $x = \frac{\pi}{6}$ ist $\csc\frac{\pi}{6} = 2$ und $\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, die Steigung ist also $-2\sqrt{3} \approx -3.46$. Die Kurve fällt dort steil, passend zum Graphen.

## So liest du den Graphen

Jeder Ast des Kosekans ist eine U-Form oberhalb oder unterhalb der Achse. Auf dem oberen Ast zwischen $0$ und $\pi$ fällt die Kurve in der linken Hälfte und steigt in der rechten, mit ihrem tiefsten Punkt bei $x = \frac{\pi}{2}$. Die Ableitung erzählt dieselbe Geschichte: links negativ, im Tiefpunkt null, rechts positiv. In der Nähe der Asymptoten bei $0$ und $\pi$ verläuft die Kurve fast senkrecht, dort wird der Betrag der Ableitung beliebig groß. Mit diesem Bild im Kopf kannst du das Vorzeichen jedes berechneten Ergebnisses schnell prüfen.

## Typische Fehler

1. **Das Minuszeichen weglassen.** Die "Ko"-Regel: $\cos$, $\cot$ und $\csc$ haben alle negative Ableitungen.
2. **$-\cot^2 x$ oder $-\csc^2 x$ schreiben.** $-\csc^2 x$ ist die Ableitung von $\cot x$. Die Ableitung von $\csc x$ ist $-\csc x\cot x$.
3. **Den Kehrwert verwechseln.** $\csc x = \frac{1}{\sin x}$, nicht $\frac{1}{\cos x}$.

Die Integralseite findest du unter [Integral von csc x](/integrals/csc-x). Zum Üben eignen sich die [Aufgaben zu trigonometrischen Ableitungen](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von csc x?

Die Ableitung von $\csc x$ ist $-\csc x\cot x$.

### Wie beweist man die Ableitung von csc x?

Schreibe $\csc x = (\sin x)^{-1}$. Die Kettenregel liefert $-(\sin x)^{-2}\cos x = -\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x\cot x$.

### Was ist die Ableitung von csc(2x)?

Mit der Kettenregel: $-2\csc(2x)\cot(2x)$.

### Ist cosec x dasselbe wie csc x?

Ja. Beides bedeutet $\frac{1}{\sin x}$, und die Ableitung von cosec x ist $-\operatorname{cosec}x\cot x$.