# Ableitung von e^(2x): Formel, Schritte und Beispiele

> Die Ableitung von e^(2x) ist 2e^(2x). Mit den Schritten der Kettenregel, einem zweiten Beweis über (eˣ)², höheren Ableitungen, Graph und Rechenbeispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-e-hoch-2x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $2e^{2x}$
- **Zweite Ableitung:** $4e^{2x}$
- **n-te Ableitung:** $2^n e^{2x}$
- **Allgemeine Form:** $\dfrac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$
- **Als Integral:** $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $e^{2x}$ ist $2e^{2x}$: Die Ableitung des Exponenten, $2$, kommt nach vorne.
- Allgemein gilt $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$ für jede Konstante $k$.
- Jede weitere Ableitung multipliziert mit einer weiteren $2$, die $n$-te Ableitung ist also $2^n e^{2x}$.
- Rückwärts teilt das Integral durch $2$: $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

Die **Ableitung von $e^{2x}$ ist $2e^{2x}$**. Die Exponentialfunktion bleibt genau gleich, und die Ableitung des Exponenten, $2$, kommt nach vorne.

$$\frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x}$$

## Schritt für Schritt mit der Kettenregel

Schreibe $e^{2x}$ als äußere Funktion $e^u$ mit der inneren Funktion $u = 2x$. Die [Kettenregel](/rules/chain-rule) besagt

$$\frac{d}{dx}e^u = e^u\cdot u'$$

1. Die äußere Ableitung: Die [Ableitung von eˣ](/derivatives/e-to-the-x) ist die Funktion selbst, also bleibt $e^u$ als $e^{2x}$ stehen.
2. Die innere Ableitung: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
3. Multiplizieren: $e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}$.

Mit denselben Schritten erhältst du die allgemeine Regel $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$ und $\frac{d}{dx}e^{x/3} = \frac{1}{3}e^{x/3}$.

## Ein zweiter Beweis ohne Kettenregel

Wegen $e^{2x} = (e^x)^2 = e^x\cdot e^x$ funktioniert auch die [Produktregel](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(e^x\cdot e^x) = e^x\cdot e^x + e^x\cdot e^x = 2e^{2x}$$

Beide Methoden stimmen überein, eine schöne Probe.

## Graph von e^(2x) und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = e^(2x) und seiner Ableitung y = 2e^(2x)'
caption: 'Die Ableitung ist immer genau doppelt so hoch wie die Funktion. Bei $x = 0$ ist der Funktionswert $1$ und die Steigung $2$.'
x: [-3, 1.5]
y: [-1, 10]
functions:
  - expr: exp(2x)
    label: y = e^(2x)
  - expr: 2exp(2x)
    label: y = 2e^(2x) (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 2, 'Steigung 2']
```

Die Tangente bei $x = 0$ hat die Steigung $2$ und verläuft durch $(0, 1)$, sie lautet also $y = 2x + 1$.

## Höhere Ableitungen

Bei jedem Ableiten kommt ein weiterer Faktor $2$ heraus:

| Ableitung | Ergebnis |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $2e^{2x}$ |
| $f''(x)$ | $4e^{2x}$ |
| $f'''(x)$ | $8e^{2x}$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $2^n e^{2x}$ |

Dieses Muster ist der Grund, warum $y = e^{2x}$ die Differentialgleichung $y'' = 4y$ löst. Es erklärt auch die erste Ableitung für sich: $y' = 2y$ bedeutet, dass die Funktion mit einer Rate wächst, die doppelt so groß ist wie ihr aktueller Wert. Das ist das Gesetz hinter exponentiellem Wachstum mit der Wachstumskonstante $2$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Produktregel.** Für $f(x) = xe^{2x}$ gilt

$$f'(x) = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$$

Da $e^{2x} > 0$ ist, liegt der einzige kritische Punkt dort, wo $1 + 2x = 0$ gilt, also bei $x = -\frac{1}{2}$.

**Beispiel 2: ein verschobener Exponent.** Bei $g(x) = e^{2x + 1}$ ist die innere Ableitung immer noch $2$:

$$g'(x) = 2e^{2x + 1}$$

**Beispiel 3: ein konstanter Faktor.** Für $h(x) = 5e^{2x} - e^{-2x}$ gilt

$$h'(x) = 10e^{2x} + 2e^{-2x}$$

Der zweite Summand wechselt das Vorzeichen, weil $\frac{d}{dx}(-2x) = -2$ ist.

## Typische Fehler

1. **Die 2 vergessen.** $\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x}$ ist der häufigste Ausrutscher. Multipliziere immer mit der inneren Ableitung.
2. **Den Exponenten wie bei einer Potenz nach vorne holen.** $2x\,e^{2x - 1}$ ist falsch, die Potenzregel gilt hier nicht.
3. **$2e^{x}$ schreiben.** Der Exponent ändert sich nicht. Er bleibt $2x$.
4. **Ableitung und Integral verwechseln.** Die Ableitung multipliziert mit $2$, das Integral teilt durch $2$.

Für die Gegenrichtung siehe das [Integral von e^(2x)](/integrals/e-to-the-2x). Zum Üben eignen sich die [Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von e^(2x)?

Die Ableitung von $e^{2x}$ ist nach der Kettenregel $2e^{2x}$.

### Was ist die zweite Ableitung von e^(2x)?

Leite $2e^{2x}$ noch einmal ab und du erhältst $4e^{2x}$.

### Was ist die Ableitung von x·e^(2x)?

Nach der Produktregel: $e^{2x} + 2xe^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$.

### Ist die Ableitung von e^(2x) gleich 2x·e^(2x − 1)?

Nein. Das behandelt $e^{2x}$ wie eine Potenz von $x$. Die Variable steht im Exponenten, also brauchst du die Regel für Exponentialfunktionen zusammen mit der Kettenregel.