# Ableitung von e^(−x): Formel, Schritte und Beispiele

> Die Ableitung von e^(−x) ist −e^(−x). Mit den Schritten der Kettenregel, einer Probe mit der Quotientenregel, höheren Ableitungen und Beispielen wie xe^(−x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-e-hoch-minus-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-e^{-x}$
- **Zweite Ableitung:** $e^{-x}$
- **n-te Ableitung:** $(-1)^n e^{-x}$
- **Dieselbe Funktion wie:** $\dfrac{1}{e^x}$
- **Als Integral:** $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $e^{-x}$ ist $-e^{-x}$. Das Minuszeichen kommt von der inneren Ableitung von $-x$.
- Die Vorzeichen wechseln sich ab: Die $n$-te Ableitung ist $(-1)^n e^{-x}$.
- $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ ist immer positiv, aber immer fallend, deshalb ist seine Ableitung negativ.
- Das Integral ist ebenfalls $-e^{-x} + C$, denn die Ableitung von $-e^{-x}$ ist wieder $e^{-x}$.

Die **Ableitung von $e^{-x}$ ist $-e^{-x}$**. Die Exponentialfunktion bleibt gleich, und die Ableitung des Exponenten $-x$, also $-1$, setzt ein Minuszeichen davor.

$$\frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x}$$

## Schritt für Schritt mit der Kettenregel

Fasse $e^{-x}$ als $e^u$ mit $u = -x$ auf. Die [Kettenregel](/rules/chain-rule) liefert

$$\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}(-x) = e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}$$

Der äußere Schritt nutzt, dass die [Ableitung von eˣ](/derivatives/e-to-the-x) wieder $e^x$ ist.

## Probe mit der Quotientenregel

Wegen $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ sollte die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) dasselbe ergeben:

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x} = \frac{0\cdot e^x - 1\cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{-e^x}{e^{2x}} = -e^{-x}$$

Gleiches Ergebnis, mehr Arbeit. Mit der Kettenregel geht es schneller.

## Graph von e^(−x) und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = e^(−x) und seiner Ableitung y = −e^(−x)'
caption: 'Die Funktion $e^{-x}$ ist immer positiv und immer fallend. Ihre Ableitung ist das Spiegelbild unterhalb der x-Achse.'
x: [-2, 5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: exp(-x)
    label: y = e^(−x)
  - expr: -exp(-x)
    label: y = −e^(−x) (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, -1, 'Steigung −1']
```

Der Graph von $e^{-x}$ ist der an der y-Achse gespiegelte Graph von $e^x$. Durch die Spiegelung von links nach rechts wird aus jeder steigenden Steigung eine fallende, also ist die Ableitung negativ. Für $x \to \infty$ gehen sowohl die Funktion als auch ihre Steigung gegen $0$. Das ist die Form des exponentiellen Zerfalls.

## Höhere Ableitungen

Jede Ableitung bringt eine weitere $-1$ hervor, die Vorzeichen wechseln sich also ab:

| Ableitung | Ergebnis |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $-e^{-x}$ |
| $f''(x)$ | $e^{-x}$ |
| $f'''(x)$ | $-e^{-x}$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $(-1)^n e^{-x}$ |

Wegen $f''(x) = f(x)$ löst $e^{-x}$ die Differentialgleichung $y'' = y$, genau wie $e^x$. Und $f'(x) = -f(x)$ bedeutet, dass die Funktion mit einer Rate abnimmt, die gleich ihrem eigenen Wert ist. Das ist das Grundgesetz des exponentiellen Zerfalls.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Produktregel.** Für $f(x) = xe^{-x}$ liefert die [Produktregel](/rules/product-rule)

$$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$$

Also steigt $f$ für $x < 1$, fällt für $x > 1$ und hat das Maximum $f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368$.

**Beispiel 2: exponentieller Zerfall.** Eine Größe $A(t) = 50e^{-0.2t}$ ändert sich mit der Rate

$$A'(t) = 50\cdot(-0.2)e^{-0.2t} = -10e^{-0.2t}$$

Bei $t = 0$ nimmt sie um $10$ Einheiten pro Zeiteinheit ab.

**Beispiel 3: eine Summe.** Für $g(x) = e^x + e^{-x}$ gilt

$$g'(x) = e^x - e^{-x}$$

Teilst du beides durch $2$, erhältst du die [Ableitung von cosh x](/derivatives/cosh-x), nämlich $\sinh x$.

## Typische Fehler

1. **Das Minuszeichen weglassen.** $\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}$ ist falsch. Die innere Ableitung ist $-1$.
2. **$-xe^{-x - 1}$ schreiben.** Das wendet die Potenzregel auf eine Exponentialfunktion an.
3. **Bei höheren Ableitungen die Vorzeichen durcheinanderbringen.** Gerade Ableitungen sind positiv, ungerade negativ.
4. **Beim Integral das Vorzeichen falsch setzen.** $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$, nicht $e^{-x} + C$. Siehe das [Integral von e^(−x)](/integrals/e-to-the-negative-x).

Für mehr Übung mit der Kettenregel bei Exponentialfunktionen probiere die [Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von e^(−x)?

Die Ableitung von $e^{-x}$ ist $-e^{-x}$.

### Was ist die Ableitung von 1/e^x?

Wegen $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$ ist die Ableitung $-e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$.

### Was ist die zweite Ableitung von e^(−x)?

Leite $-e^{-x}$ noch einmal ab: $-(-e^{-x}) = e^{-x}$. Die zweite Ableitung ist gleich der Ausgangsfunktion.

### Was ist die Ableitung von x·e^(−x)?

Nach der Produktregel: $e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.