# Ableitung von e^(x²): Formel, Schritte und Beispiele

> Die Ableitung von e^(x²) ist 2x·e^(x²). Mit den Schritten der Kettenregel, der zweiten Ableitung, dem Unterschied zu (eˣ)² und Beispielen wie e^(−x²).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-e-hoch-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $2x\,e^{x^2}$
- **Zweite Ableitung:** $(4x^2 + 2)\,e^{x^2}$
- **Kritischer Punkt:** $x = 0$, ein Minimum
- **Verwandte Funktion:** $\dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = -2x\,e^{-x^2}$
- **Integral:** Für $\int e^{x^2}\,dx$ gibt es keine elementare Formel

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $e^{x^2}$ ist $2x\,e^{x^2}$: Schreibe die Exponentialfunktion ab und multipliziere mit $2x$.
- $e^{x^2}$ und $(e^x)^2 = e^{2x}$ sind verschiedene Funktionen mit verschiedenen Ableitungen.
- Die zweite Ableitung ist $(4x^2 + 2)e^{x^2}$, also immer positiv. Der Graph ist daher überall linksgekrümmt.
- $e^{x^2}$ abzuleiten ist leicht, aber für $\int e^{x^2}\,dx$ gibt es keine Formel aus elementaren Funktionen.

Die **Ableitung von $e^{x^2}$ ist $2x\,e^{x^2}$**. Die Exponentialfunktion wird unverändert übernommen und mit der Ableitung des Exponenten $x^2$ multipliziert.

$$\frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}$$

## Schritt für Schritt mit der Kettenregel

Die Funktion ist eine Verkettung: eine äußere Exponentialfunktion $e^u$ und eine innere Funktion $u = x^2$. Nach der [Kettenregel](/rules/chain-rule):

1. Leite die äußere Funktion ab und lass die innere stehen: Da die [Ableitung von eˣ](/derivatives/e-to-the-x) wieder $e^x$ ist, ergibt das $e^{x^2}$.
2. Leite die innere Funktion ab: $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$.
3. Multipliziere: $e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$.

Üblicherweise schreibt man das $2x$ nach vorne, damit niemand es für einen Teil des Exponenten hält.

## Graph von e^(x²) und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = e^(x²) und seiner Ableitung y = 2x·e^(x²)'
caption: 'Die Funktion hat ein Minimum bei $(0, 1)$, wo die Ableitung die Null durchläuft. Abseits von $0$ wachsen beide sehr schnell.'
x: [-2, 2]
y: [-8, 8]
functions:
  - expr: exp(x^2)
    label: y = e^(x²)
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: 2x*exp(x^2)
    label: y = 2x·e^(x²) (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [-1.1, 1.1]
points:
  - [0, 1, 'Minimum (0, 1)']
```

Die Ableitung $2x\,e^{x^2}$ ist für $x < 0$ negativ und für $x > 0$ positiv, weil $e^{x^2}$ immer positiv ist. Der Graph fällt also, erreicht bei $x = 0$ seinen Tiefpunkt und steigt dann. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse, und seine Ableitung ist eine ungerade Funktion.

## Zweite Ableitung

Leite $2x\,e^{x^2}$ mit der [Produktregel](/rules/product-rule) ab:

$$\frac{d^2}{dx^2}e^{x^2} = 2\cdot e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (4x^2 + 2)\,e^{x^2}$$

Wegen $4x^2 + 2 > 0$ ist die Kurve überall linksgekrümmt und hat keine Wendepunkte.

## e^(x²) im Vergleich zu (eˣ)²

Die beiden sehen ähnlich aus, sind aber verschiedene Funktionen:

| Funktion | Vereinfacht | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $e^{x^2}$ | $e^{(x^2)}$ | $2x\,e^{x^2}$ |
| $(e^x)^2$ | $e^{2x}$ | $2e^{2x}$ |

Bei $x = 3$: $e^{x^2} = e^9 \approx 8103$, aber $(e^x)^2 = e^6 \approx 403$. Zur zweiten Funktion siehe die [Ableitung von e^(2x)](/derivatives/e-to-the-2x).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: die Glockenkurve.** Für $f(x) = e^{-x^2}$ ist die innere Ableitung $-2x$:

$$f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$$

Diese Form ist der Kern der Normalverteilung. Das Maximum liegt bei $x = 0$.

**Beispiel 2: eine Konstante im Exponenten.** Für $g(x) = e^{3x^2 + 1}$ gilt

$$g'(x) = 6x\,e^{3x^2 + 1}$$

**Beispiel 3: ein Produkt.** Für $h(x) = x\,e^{x^2}$ gilt

$$h'(x) = e^{x^2} + x\cdot 2x\,e^{x^2} = (1 + 2x^2)\,e^{x^2}$$

$h'(x)$ ist immer positiv, also ist $h$ streng monoton steigend.

## Typische Fehler

1. **Das $2x$ vergessen.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2}$ ist falsch, das gilt nur für das reine $e^x$.
2. **$e^{2x}$ schreiben.** Der Exponent ändert sich beim Ableiten einer Exponentialfunktion nie.
3. **Die Potenzregel anwenden.** $x^2 e^{x^2 - 1}$ behandelt die Exponentialfunktion wie eine Potenz von $e$ mit variabler Basis. Das ist sie nicht.
4. **Ein einfaches Integral erwarten.** Du kannst $e^{x^2}$ in einer Zeile ableiten, aber seine Stammfunktion hat keine elementare Formel. Warum das so ist und was man stattdessen tut, steht beim [Integral von e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).

Übe weitere Exponentialfunktionen mit der Kettenregel bei den [Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von e^(x²)?

Die Ableitung von $e^{x^2}$ ist nach der Kettenregel $2x\,e^{x^2}$.

### Was ist die zweite Ableitung von e^(x²)?

Wende die Produktregel auf $2x\,e^{x^2}$ an: $2e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (4x^2 + 2)e^{x^2}$.

### Was ist die Ableitung von e^(−x²)?

Die innere Ableitung ist $-2x$, also lautet das Ergebnis $-2x\,e^{-x^2}$.

### Ist e^(x²) dasselbe wie (e^x)²?

Nein. $(e^x)^2 = e^{2x}$, und dessen Ableitung ist $2e^{2x}$. Bei $e^{x^2}$ wird nur das $x$ quadriert.