# Ableitung von eˣ: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von eˣ ist eˣ. Mit Begründung über den Grenzwert, der Kettenregel für e^u, einem Graphen und Rechenbeispielen wie e^(3x) und x²eˣ.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-e-hoch-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^x = e^x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $e^x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}e^u = e^u\,u'$
- **Jede höhere Ableitung:** $e^x$
- **Wert von e:** $e \approx 2.71828$
- **Als Integral:** $\int e^x\,dx = e^x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$. Sie ist (bis auf einen konstanten Faktor) die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist.
- Der Beweis beruht auf dem Grenzwert $\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1$, und genau das macht $e$ besonders.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}e^u = e^u\,u'$: Schreibe die Exponentialfunktion ab und multipliziere mit der Ableitung des Exponenten.
- Die Potenzregel gilt für $e^x$ nicht, weil die Variable im Exponenten steht.

Die **Ableitung von $e^x$ ist $e^x$**. Funktionswert und Steigung sind an jeder Stelle gleich, und das macht $e^x$ zur wichtigsten Funktion der Analysis.

$$\frac{d}{dx}\,e^x = e^x$$

## Graph von eˣ

```graph
title: 'Graph von y = eˣ und seiner Tangente bei x = 0'
caption: 'An jeder Stelle ist der Funktionswert von $e^x$ gleich seiner Steigung. Bei $x = 0$ sind beide $1$, die Tangente dort ist also $y = x + 1$.'
x: [-4, 3]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: exp(x)
    label: y = eˣ (und seine Ableitung)
  - expr: x + 1
    label: Tangente y = x + 1
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1), Steigung 1']
  - [1, 2.718, '(1, e), Steigung e']
```

Weil $e^x > 0$ für jedes $x$ gilt, ist die Steigung immer positiv, also steigt $e^x$ immer. Und weil die Steigung mit dem Funktionswert wächst, biegt sich die Kurve immer schneller nach oben.

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

Nutze die [Definition der Ableitung als Grenzwert](/blog/limit-definition-of-the-derivative):

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \to 0}\frac{e^{x + h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}$$

Für jede Basis $a$ ist die Ableitung von $a^x$ gleich $a^x$ mal der Konstanten $\lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}$. Für $a = 2$ ist diese Konstante ungefähr $0.693$, für $a = 3$ ungefähr $1.099$. Die Zahl $e \approx 2.71828$ ist genau die Basis, bei der die Konstante $1$ ist:

$$\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}e^x = e^x$$

Du kannst das numerisch prüfen: Mit $h = 0.001$ ist $\frac{e^{0.001} - 1}{0.001} \approx 1.0005$.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von e^u

Steht im Exponenten etwas anderes als $x$, nimmst du die [Kettenregel](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}e^u = e^u \cdot u'$$

Schreibe die Exponentialfunktion genau so ab, wie sie ist, und multipliziere mit der Ableitung des Exponenten.

| Funktion | Exponent $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $e^{3x}$ | $3x$ | $3e^{3x}$ |
| $e^{-x}$ | $-x$ | $-e^{-x}$ |
| $e^{x^2}$ | $x^2$ | $2xe^{x^2}$ |
| $e^{\sin x}$ | $\sin x$ | $\cos x\,e^{\sin x}$ |
| $e^{\sqrt{x}}$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ |

Einige davon haben eigene Seiten: [e^(2x)](/derivatives/e-to-the-2x), [e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) und [e^(x²)](/derivatives/e-to-the-x-squared).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Produktregel.** Für $f(x) = x^2e^x$ liefert die [Produktregel](/rules/product-rule)

$$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x(x^2 + 2x)$$

Klammerst du $e^x$ aus, findest du leicht, wo $f'(x) = 0$ ist: bei $x = 0$ und $x = -2$.

**Beispiel 2: Quotientenregel.** Für $g(x) = \frac{e^x}{x}$ liefert die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule)

$$g'(x) = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

**Beispiel 3: höhere Ableitungen.** Jede Ableitung von $e^x$ ist $e^x$, also gilt $f^{(n)}(x) = e^x$ für jedes $n$. Deshalb lautet die Maclaurin-Reihe von $e^x$ $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$.

## Typische Fehler

1. **Die Potenzregel anwenden.** $\frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x - 1}$. Die Potenzregel braucht einen konstanten Exponenten.
2. **Den Faktor aus der Kettenregel vergessen.** $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$, nicht $e^{5x}$.
3. **Den Exponenten verändern.** Die Ableitung von $e^{x^2}$ behält $e^{x^2}$, daraus wird nicht $e^{2x}$.
4. **$e$ wie eine Variable behandeln.** $e$ ist eine Konstante, also gilt $\frac{d}{dx}e^2 = 0$ und $\frac{d}{dx}x^e = ex^{e - 1}$.

Die Umkehrung, $\int e^x\,dx = e^x + C$, steht auf der Seite zum [Integral von eˣ](/integrals/e-to-the-x). Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus, siehe die [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x) und die [natürliche Exponentialfunktion](/functions/natural-exponential-function).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von e^x?

Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$. Die Funktion ist ihre eigene Ableitung.

### Warum ist die Ableitung von e^x gleich e^x?

Weil $\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}$ gilt und $e$ genau die Zahl ist, für die dieser Grenzwert $1$ ergibt.

### Was ist die Ableitung von e^(3x)?

Nach der Kettenregel ist sie $3e^{3x}$.

### Ist die Ableitung von e^x gleich x·e^(x−1)?

Nein. Das ist die Potenzregel, und die funktioniert nur, wenn der Exponent konstant ist. Hier ist der Exponent die Variable, also lautet das Ergebnis $e^x$.