# Ableitung von ln(2x): Warum sie 1/x ist, mit Beispielen

> Die Ableitung von ln(2x) ist 1/x, genau wie bei ln x. Mit zwei Beweisen, einem Graphen, der die gleichen Steigungen zeigt, und dem Unterschied zu ln(2x + 1).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-ln-2x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\dfrac{1}{x}$ für $x > 0$
- **Allgemeine Form:** $\dfrac{d}{dx}\ln(kx) = \dfrac{1}{x}$ für jede Konstante $k > 0$
- **Wichtige Logarithmusregel:** $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$
- **Definitionsbereich von ln(2x):** $x > 0$
- **Vergleich:** $\dfrac{d}{dx}\ln(2x + 1) = \dfrac{2}{2x + 1}$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\ln(2x)$ ist $\frac{1}{x}$, genau wie die Ableitung von $\ln x$.
- Grund: $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, und die Konstante $\ln 2$ hat die Ableitung $0$.
- Die Kettenregel liefert dasselbe: $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$.
- Das funktioniert nur bei einem Vielfachen von $x$. Für $\ln(2x + 1)$ ist die Ableitung $\frac{2}{2x + 1}$.

Die **Ableitung von $\ln(2x)$ ist $\dfrac{1}{x}$**. Das überrascht viele: Die $2$ verschwindet, und das Ergebnis stimmt mit der [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x) überein.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x}, \qquad x > 0$$

## Beweis 1: die Kettenregel

Sei $u = 2x$, also $u' = 2$. Die [Kettenregel](/rules/chain-rule) für Logarithmen lautet "innere Ableitung durch innere Funktion":

$$\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{u'}{u} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$$

Die $2$ im Zähler kürzt sich mit der $2$ im Nenner.

## Beweis 2: erst den Logarithmus zerlegen

Nach dem Logarithmusgesetz für Produkte gilt $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Also ist

$$\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$$

Nun ist $\ln 2 \approx 0.693$ einfach eine Zahl, und die Ableitung einer Konstanten ist $0$:

$$\frac{d}{dx}\ln(2x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

Dieser zweite Beweis erklärt, *warum* das Ergebnis dasselbe ist wie bei $\ln x$.

## Graph: zwei Kurven, gleiche Steigungen

```graph
title: 'Graph von y = ln(2x) und y = ln x'
caption: 'Die Kurve $\ln(2x)$ ist $\ln x$, um $\ln 2 \approx 0.693$ nach oben verschoben. Eine Verschiebung nach oben ändert die Steigung nicht, also haben beide die Ableitung $\frac{1}{x}$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: ln(2x)
    label: y = ln(2x)
    domain: [0.02, 6]
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    dashed: true
    domain: [0.04, 6]
points:
  - [0.5, 0, '(1/2, 0)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

An jeder Stelle $x$ haben die beiden Kurven denselben senkrechten Abstand, ihre Tangenten sind also parallel. Bei $x = 2$ zum Beispiel haben beide die Steigung $\frac{1}{2}$.

## Wenn sich die Konstante nicht kürzt

Der Trick funktioniert nur, wenn die innere Funktion eine Konstante *mal* $x$ ist. Vergleiche:

| Funktion | Ableitung | Kürzt sich die Konstante? |
| --- | --- | --- |
| $\ln(2x)$ | $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ | ja |
| $\ln(5x)$ | $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$ | ja |
| $\ln(2x + 1)$ | $\frac{2}{2x + 1}$ | nein |
| $\ln(x + 2)$ | $\frac{1}{x + 2}$ | nein |
| $\ln(2x^3)$ | $\frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x}$ | die $2$ kürzt sich, die Potenz bleibt |

Die letzte Zeile funktioniert, weil $\ln(2x^3) = \ln 2 + 3\ln x$ gilt.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine Tangente.** Bei $x = \frac{1}{2}$ ist $\ln(2x) = \ln 1 = 0$ und die Steigung $\frac{1}{1/2} = 2$. Die Tangente lautet

$$y = 2\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = 2x - 1$$

**Beispiel 2: Produktregel.** Für $f(x) = x\ln(2x)$ liefert die [Produktregel](/rules/product-rule)

$$f'(x) = \ln(2x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(2x) + 1$$

**Beispiel 3: ein Quadrat.** Bei $g(x) = \left[\ln(2x)\right]^2$ ist die äußere Funktion ein Quadrat:

$$g'(x) = 2\ln(2x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln(2x)}{x}$$

## Typische Fehler

1. **$\frac{1}{2x}$ schreiben.** Du hast durch die innere Funktion geteilt, aber vergessen, mit ihrer Ableitung $2$ zu multiplizieren.
2. **$\frac{2}{x}$ schreiben.** Du hast mit $2$ multipliziert, aber die $2$ im Nenner nicht stehen lassen.
3. **Bei $\ln(2x + 1)$ kürzen.** Die $2$ kürzt sich nur, wenn die innere Funktion genau $2x$ ist.

Siehe auch die [Ableitung von ln(x²)](/derivatives/ln-x-squared), wo statt eines Vielfachen eine Potenz im Logarithmus steht, und übe weiter mit den [Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von ln(2x)?

Die Ableitung von $\ln(2x)$ ist $\frac{1}{x}$.

### Warum ist die Ableitung von ln(2x) dieselbe wie von ln x?

Weil $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$ gilt. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nur um die Konstante $\ln 2$, ihre Graphen sind also senkrecht gegeneinander verschoben und haben überall dieselbe Steigung.

### Was ist die Ableitung von ln(3x)?

Ebenfalls $\frac{1}{x}$. Für jede positive Konstante $k$ gilt $\frac{d}{dx}\ln(kx) = \frac{k}{kx} = \frac{1}{x}$.

### Was ist die Ableitung von ln(2x + 1)?

Sie lautet $\frac{2}{2x + 1}$. Addierst du im Inneren $1$, lässt sich die Konstante nicht mehr als eigener Logarithmus abspalten, also kürzt sich nichts.