# Ableitung von ln(cos x): Formel, Schritte und Beispiele

> Die Ableitung von ln(cos x) ist −tan x. Mit den Schritten der Kettenregel, dem Zusammenhang mit dem Integral von tan x, Graph sowie ln(sin x) und ln(sec x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-ln-cos-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $-\tan x$ dort, wo $\cos x > 0$
- **Zweite Ableitung:** $-\sec^2 x$
- **Mit Betrag:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x$ dort, wo $\cos x \ne 0$
- **Zugehöriges Integral:** $\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$
- **Gegenstück:** $\dfrac{d}{dx}\ln(\sin x) = \cot x$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\ln(\cos x)$ ist $\frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
- Sie folgt der Kettenregel für Logarithmen: innere Ableitung durch innere Funktion.
- Rückwärts gelesen liefert sie das Standardintegral $\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$.
- $\ln(\cos x)$ ist nur dort definiert, wo $\cos x > 0$ gilt, zum Beispiel für $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

Die **Ableitung von $\ln(\cos x)$ ist $-\tan x$**. Sie ist eine kurze Rechnung mit der Kettenregel und der Grund, warum im Integral von $\tan x$ ein Logarithmus auftaucht.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x$$

## Schritt für Schritt mit der Kettenregel

Für den Logarithmus einer Funktion liefern die [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x) und die [Kettenregel](/rules/chain-rule) zusammen $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$. Hier ist $u = \cos x$:

1. Die innere Funktion ist $u = \cos x$.
2. Ihre Ableitung ist $u' = -\sin x$ (siehe die [Ableitung von cos x](/derivatives/cos-x)).
3. Teilen: $\frac{u'}{u} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.

## Wo ln(cos x) definiert ist

Ein Logarithmus akzeptiert nur positive Eingaben, also existiert $\ln(\cos x)$ nur dort, wo $\cos x > 0$ ist. Das ist das Intervall $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ und seine um $2\pi$ verschobenen Kopien. Wo $\cos x < 0$ gilt, nimmst du stattdessen $\ln\lvert\cos x\rvert$. Diese Funktion hat überall dort, wo $\cos x \ne 0$ ist, dieselbe Ableitung $-\tan x$.

## Graph von ln(cos x) und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = ln(cos x) und seiner Ableitung y = −tan x'
caption: 'Die Kurve hat ihren Hochpunkt bei $(0, 0)$, wo die Steigung $-\tan 0 = 0$ ist. In der Nähe von $x = \pm\frac{\pi}{2}$ fällt sie gegen $-\infty$, denn dort gilt $\cos x \to 0$.'
x: [-2, 2]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: ln(cos(x))
    label: y = ln(cos x)
    domain: [-1.5, 1.5]
  - expr: -tan(x)
    label: y = −tan x (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [-1.3, 1.3]
points:
  - [0, 0, 'Maximum (0, 0)']
```

Wegen $\cos x \le 1$ gilt $\ln(\cos x) \le 0$, mit dem Maximalwert $0$ bei $x = 0$. Die zweite Ableitung ist $-\sec^2 x$ und damit immer negativ, der Graph ist also überall, wo er existiert, rechtsgekrümmt.

## Warum daraus das Integral von tan x folgt

Dreh das Ergebnis um. Wegen $\frac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x$ gilt

$$\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

Die beiden Formen sind gleich, weil $-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}$ ist. Den vollständigen Weg mit der Substitutionsregel findest du auf der Seite zum [Integral von tan x](/integrals/tan-x).

## Logarithmen anderer trigonometrischer Funktionen

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $\ln(\cos x)$ | $-\tan x$ |
| $\ln(\sin x)$ | $\cot x$ |
| $\ln(\sec x)$ | $\tan x$ |
| $\ln(\tan x)$ | $\frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\sin x\cos x}$ |
| $\ln(\sec x + \tan x)$ | $\sec x$ |

Die letzte Zeile ist die berühmte Grundlage für $\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. Probe: Die Ableitung der inneren Funktion ist $\sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$, und nach dem Teilen durch $\sec x + \tan x$ bleibt $\sec x$ übrig.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\ln(\cos 2x) = \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\ln(\cos^2 x) = \frac{d}{dx}2\ln(\cos x) = -2\tan x$.

**Beispiel 3: Tangente.** Bei $x = \frac{\pi}{4}$ ist $\ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347$, und die Steigung ist $-\tan\frac{\pi}{4} = -1$. Die Tangente lautet $y = -\frac{\ln 2}{2} - \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

## Typische Fehler

1. **$\frac{1}{\cos x}$ schreiben.** Das ist $\sec x$, und dabei fehlt die innere Ableitung $-\sin x$.
2. **Das Minuszeichen verlieren.** Die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$, das Ergebnis ist also $-\tan x$, nicht $\tan x$.
3. **$-\frac{1}{\sin x}$ schreiben.** Du hast die innere Ableitung umgedreht, statt durch die innere Funktion zu teilen.

Übe weitere Aufgaben zur Kettenregel mit trigonometrischen Funktionen bei den [Aufgaben zu trigonometrischen Ableitungen](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von ln(cos x)?

Die Ableitung von $\ln(\cos x)$ ist $-\tan x$.

### Was ist die Ableitung von ln(sin x)?

Sie lautet $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$, gültig dort, wo $\sin x > 0$ ist.

### Was ist die Ableitung von ln(sec x)?

Sie lautet $\frac{\sec x\tan x}{\sec x} = \tan x$. Das passt dazu, dass $\ln(\sec x) = -\ln(\cos x)$ gilt.

### Was ist die Ableitung von ln(cos 2x)?

Die innere Ableitung ist $-2\sin 2x$, also lautet das Ergebnis $\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x$.