# Ableitung von ln(x²) und (ln x)²: Formeln und Beispiele

> Die Ableitung von ln(x²) ist 2/x, die Ableitung von (ln x)² ist 2 ln x / x. Mit beiden Beweisen, einem Graphen und Tipps, wie du sie auseinanderhältst.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-ln-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung von ln(x²):** $\dfrac{2}{x}$ für $x \ne 0$
- **Ableitung von (ln x)²:** $\dfrac{2\ln x}{x}$ für $x > 0$
- **Wichtige Logarithmusregel:** $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$
- **Definitionsbereich von ln(x²):** $x \ne 0$
- **Definitionsbereich von (ln x)²:** $x > 0$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\ln(x^2)$ ist $\frac{2}{x}$: mit der Kettenregel $\frac{2x}{x^2}$ oder mit der Logarithmusregel $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$.
- Die Ableitung von $(\ln x)^2$ ist $\frac{2\ln x}{x}$: Das Quadrat steht außen, also erst Potenzregel, dann Kettenregel.
- $\ln(x^2)$ quadriert die Eingabe, $(\ln x)^2$ quadriert die Ausgabe. Es sind verschiedene Funktionen.
- $\ln(x^2)$ ist für alle $x \ne 0$ definiert, $(\ln x)^2$ nur für $x > 0$.

Die **Ableitung von $\ln(x^2)$ ist $\dfrac{2}{x}$**. Verwechsle sie nicht mit $(\ln x)^2$, dessen Ableitung $\dfrac{2\ln x}{x}$ ist.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}$$

## Ableitung von ln(x²): zwei Wege

**Mit der Kettenregel.** Die innere Funktion ist $u = x^2$, also $u' = 2x$. Mit "innere Ableitung durch innere Funktion" aus der [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x):

$$\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$$

**Erst mit einer Logarithmusregel.** Das Logarithmusgesetz für Potenzen holt den Exponenten nach vorne: $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$. Wegen $\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}$ gilt

$$\frac{d}{dx}\,2\ln\lvert x\rvert = \frac{2}{x}$$

Der Betrag ist wichtig, weil $x^2 > 0$ auch für $x < 0$ gilt. $\ln(x^2)$ existiert also auch für negative $x$, und die Formel $\frac{2}{x}$ gilt auf beiden Seiten von $0$.

## Ableitung von (ln x)²

Hier wird erst der Logarithmus berechnet und *dann* quadriert. Die äußere Funktion ist ein Quadrat, also nimmst du die [Kettenregel](/rules/chain-rule) mit der Potenzregel außen:

$$\frac{d}{dx}(\ln x)^2 = 2(\ln x)^1\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{2\ln x}{x}$$

Du siehst $(\ln x)^2$ auch als $\ln^2 x$ geschrieben. Im Allgemeinen ist das nie gleich $\ln(x^2)$. Bei $x = e$: $\ln(e^2) = 2$, aber $(\ln e)^2 = 1$.

## Graph beider Funktionen

```graph
title: 'Graph von y = ln(x²) und y = (ln x)²'
caption: '$\ln(x^2)$ hat zwei Äste, einen auf jeder Seite der y-Achse. $(\ln x)^2$ existiert nur für $x > 0$, berührt bei $x = 1$ die Null und ist nie negativ.'
x: [-5, 5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: ln(x^2)
    label: y = ln(x²)
    domain: [0.15, 5]
  - expr: ln(x^2)
    label: y = ln(x²)
    domain: [-5, -0.15]
  - expr: (ln(x))^2
    label: y = (ln x)²
    dashed: true
    domain: [0.14, 5]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [-1, 0, '(−1, 0)']
```

Der Graph zeigt den Unterschied im Vorzeichen. $\ln(x^2)$ steigt für $x > 0$ (die Steigung $\frac{2}{x}$ ist positiv) und fällt für $x < 0$. $(\ln x)^2$ hat ein Minimum bei $x = 1$, wo die Ableitung $\frac{2\ln x}{x}$ gleich $0$ ist.

## Direkter Vergleich

| | $\ln(x^2)$ | $(\ln x)^2$ |
| --- | --- | --- |
| Was wird quadriert | die Eingabe $x$ | die Ausgabe $\ln x$ |
| Definitionsbereich | $x \ne 0$ | $x > 0$ |
| Vereinfacht | $2\ln\lvert x\rvert$ | keine einfachere Form |
| Ableitung | $\frac{2}{x}$ | $\frac{2\ln x}{x}$ |
| Wert bei $x = e$ | $2$ | $1$ |

## Weitere Beispiele

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\ln(x^3) = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}$. Allgemein gilt $\frac{d}{dx}\ln(x^n) = \frac{n}{x}$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. Hier kürzt sich nichts, weil die innere Funktion keine reine Potenz ist.

**Beispiel 3.** $\frac{d}{dx}(\ln x)^3 = \frac{3(\ln x)^2}{x}$.

**Beispiel 4.** $\frac{d}{dx}\ln\!\left((x^2 + 1)^2\right) = 2\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{4x}{x^2 + 1}$, wobei zuerst das Logarithmusgesetz für Potenzen angewendet wird.

## Typische Fehler

1. **$\frac{1}{x^2}$ schreiben.** Du musst mit der inneren Ableitung $2x$ multiplizieren.
2. **$\ln^2 x$ wie $\ln(x^2)$ behandeln.** Das eine quadriert die Ausgabe, das andere die Eingabe.
3. **Für $(\ln x)^2$ das Ergebnis $\frac{2}{x}$ schreiben.** Du hast das $\ln x$ weggelassen, das die Potenzregel übrig lässt.

Mehr Übung zur Kettenregel mit Logarithmen findest du bei der [Ableitung von ln(2x)](/derivatives/ln-2x), beim [logarithmischen Differenzieren](/rules/logarithmic-differentiation) und in den [Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von ln(x²)?

Die Ableitung von $\ln(x^2)$ ist $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$, für jedes $x \ne 0$.

### Was ist die Ableitung von (ln x)²?

Mit der Kettenregel: $2\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$.

### Ist ln(x²) dasselbe wie 2 ln x?

Nur für $x > 0$. Allgemein gilt $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$, weil $\ln(x^2)$ auch für negative $x$ definiert ist, $\ln x$ aber nicht.

### Was ist die Ableitung von ln(x² + 1)?

Sie lautet $\frac{2x}{x^2 + 1}$. Anders als bei $\ln(x^2)$ lässt sich das nicht weiter vereinfachen.