# Ableitung von ln x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von ln x ist 1/x. Mit Beweis aus eʸ = x, der Kettenregel für ln(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie ln(2x) und ln(x²+1).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-ln-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\dfrac{1}{x}$ für $x > 0$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}$
- **Mit Betrag:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \dfrac{1}{x}$ für $x \ne 0$
- **Definitionsbereich von ln x:** $x > 0$
- **Als Integral:** $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\ln x$ ist $\frac{1}{x}$.
- Mit der Kettenregel ist die Ableitung von $\ln u$ gleich $\frac{u'}{u}$: innere Ableitung durch innere Funktion.
- Konstante Faktoren im Logarithmus verschwinden: $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}$, weil $\ln 5x = \ln 5 + \ln x$ ist.
- Dieselbe Formel gilt für $\ln\lvert x\rvert$, deshalb ist $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.

Die **Ableitung von $\ln x$ ist $\dfrac{1}{x}$**. Sie gehört zu den meistgenutzten Ergebnissen der Analysis und schließt eine Lücke, die die Potenzregel offen lässt: Keine Potenz von $x$ hat $\frac{1}{x}$ als Ableitung, der natürliche Logarithmus aber schon.

$$\frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x}, \qquad x > 0$$

## Graph von ln x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = ln x und seiner Ableitung y = 1/x'
caption: 'Die Steigung von $\ln x$ ist in der Nähe von $x = 0$ groß und wird kleiner, je größer $x$ wird. Bei $x = 1$ ist die Steigung genau $1$, passend zu $\frac{1}{1} = 1$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    domain: [0.02, 6]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [0.2, 6]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [1, 1, 'Steigung 1']
```

Da $\frac{1}{x}$ für $x > 0$ immer positiv ist, ist der natürliche Logarithmus streng monoton steigend. Und weil $\frac{1}{x}$ kleiner wird, wenn $x$ wächst, steigt $\ln x$ immer langsamer an. Deshalb ist der Graph rechtsgekrümmt.

## Beweis, dass die Ableitung von ln x gleich 1/x ist

Sei $y = \ln x$. Nach der Definition des natürlichen Logarithmus bedeutet das

$$e^y = x$$

Leite beide Seiten nach $x$ ab und nutze auf der linken Seite [implizites Differenzieren](/rules/implicit-differentiation):

$$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

Im letzten Schritt wird wieder $e^y = x$ verwendet. Der Beweis beruht darauf, dass die Ableitung von $e^x$ wieder $e^x$ ist. Mehr dazu findest du auf der Seite zur [Ableitung von eˣ](/derivatives/e-to-the-x).

## Mit der Kettenregel: Ableitung von ln(u)

Meist steht im Logarithmus etwas anderes als ein bloßes $x$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) gilt:

$$\frac{d}{dx}\,\ln u = \frac{1}{u}\cdot u' = \frac{u'}{u}$$

In Worten: **innere Ableitung durch innere Funktion**.

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung $\frac{u'}{u}$ |
| --- | --- | --- |
| $\ln(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ |
| $\ln(x^2 + 1)$ | $x^2 + 1$ | $\frac{2x}{x^2 + 1}$ |
| $\ln(\sin x)$ | $\sin x$ | $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ |
| $\ln(e^x + 3)$ | $e^x + 3$ | $\frac{e^x}{e^x + 3}$ |
| $\ln(\ln x)$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x\ln x}$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Produkt.** Leite $f(x) = x^3 \ln x$ mit der [Produktregel](/rules/product-rule) ab:

$$f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2\ln x + x^2$$

**Beispiel 2: erst vereinfachen.** Leite $g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x^4}{x + 1}\right)$ ab. Mit den Logarithmusgesetzen wird aus dem Quotienten eine Differenz:

$$g(x) = 4\ln x - \ln(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{x + 1}$$

Das geht viel schneller, als die Quotientenregel innerhalb der Kettenregel anzuwenden. Logarithmen vor dem Ableiten zu zerlegen ist die Idee hinter dem [logarithmischen Differenzieren](/rules/logarithmic-differentiation).

**Beispiel 3: eine Tangente.** Die Tangente an $y = \ln x$ bei $x = e$ hat die Steigung $\frac{1}{e}$ und verläuft durch $(e, 1)$:

$$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{e}$$

Diese Gerade geht durch den Ursprung.

## Typische Fehler

1. **$\frac{1}{u}$ schreiben und aufhören.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1)$ ist nicht $\frac{1}{x^2+1}$. Multipliziere mit der inneren Ableitung $2x$.
2. **$\ln(x^2)$ und $(\ln x)^2$ gleichsetzen.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2}{x}$, aber $\frac{d}{dx}(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}$.
3. **$\frac{1}{x}$ für andere Basen verwenden.** $\frac{d}{dx}\log_{10} x$ braucht den zusätzlichen Faktor $\frac{1}{\ln 10}$. Siehe die [Ableitung von log x](/derivatives/log-x).
4. **Den Definitionsbereich vergessen.** $\ln x$ existiert nur für $x > 0$. Für negative Eingaben nimmst du $\ln\lvert x\rvert$, das dieselbe Ableitung $\frac{1}{x}$ hat.

Mehr zu Logarithmen und Exponentialfunktionen zusammen liest du im Artikel über [Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions), oder sieh dir die Seite zum [natürlichen Logarithmus](/functions/natural-logarithm) an.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von ln x?

Die Ableitung von $\ln x$ ist $\frac{1}{x}$, für jedes $x > 0$.

### Was ist die Ableitung von ln(2x)?

Sie ist $\frac{1}{x}$. Nach der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. Du siehst es auch an $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, wobei $\ln 2$ eine Konstante ist.

### Was ist die Ableitung von ln(x²)?

Sie ist $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$. Du kannst auch zuerst $\ln(x^2) = 2\ln x$ umschreiben und erhältst direkt $\frac{2}{x}$.

### Ist die Ableitung von ln x dieselbe wie die von log x?

Nur beim natürlichen Logarithmus. Für den Zehnerlogarithmus gilt $\frac{d}{dx}\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10}$. Allgemein gilt $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$.