# Ableitung von log x: Basis 10 und Basis b, mit Beispielen

> Die Ableitung von log₁₀ x ist 1/(x ln 10), die von log_b x ist 1/(x ln b). Mit Beweis über den Basiswechsel, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-log-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung von log₁₀ x:** $\dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{0.4343}{x}$
- **Allgemeine Basis:** $\dfrac{d}{dx}\log_b x = \dfrac{1}{x\ln b}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\log_b u = \dfrac{u'}{u\ln b}$
- **Basiswechsel:** $\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}$
- **Definitionsbereich:** $x > 0$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\log_{10} x$ ist $\frac{1}{x\ln 10}$, und für jede Basis $b$ gilt $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$.
- Der Beweis ist eine Zeile: Der Basiswechsel liefert $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$, also eine Konstante mal $\ln x$.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}$.
- In vielen Analysisbüchern und in der höheren Mathematik bedeutet "log x" den natürlichen Logarithmus, prüfe also die Konvention deines Kurses.

Die **Ableitung von $\log_{10} x$ ist $\dfrac{1}{x\ln 10}$**. Für einen Logarithmus mit beliebiger Basis $b$ gilt:

$$\frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$$

Das ist die [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x), also $\frac{1}{x}$, geteilt durch die Konstante $\ln b$.

## Welcher Logarithmus ist "log x"?

Die Schreibweise hängt vom Umfeld ab:

- Auf Taschenrechnern, in der Chemie und in den meisten Schulbüchern bedeutet $\log x$ den Zehnerlogarithmus $\log_{10} x$ (oft auch als lg x geschrieben).
- In vielen Analysisbüchern, in der höheren Mathematik und in den meisten Programmiersprachen bedeutet $\log x$ dasselbe wie $\ln x$.
- In der Informatik meint $\log x$ oft $\log_2 x$.

Wenn du unsicher bist, schau in die Lösungen: Steht dort $\ln 10$ im Ergebnis, ist die Basis 10 gemeint.

## Beweis mit dem Basiswechsel

Mit der Formel für den Basiswechsel wird jeder Logarithmus zu einem natürlichen Logarithmus:

$$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$$

Da $\frac{1}{\ln b}$ eine Konstante ist, liefert die [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule)

$$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln b}$$

Für die Basis 10 ist $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343$. Ein Zehnerlogarithmus wächst also mit etwa $43\%$ der Rate des natürlichen Logarithmus.

## Graph von log₁₀ x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = log₁₀ x und seiner Ableitung'
caption: 'Der Zehnerlogarithmus wächst langsam. Seine Steigung bei $x = 1$ ist $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.434$.'
x: [-0.5, 10]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: ln(x)/ln(10)
    label: y = log₁₀ x
    domain: [0.02, 10]
  - expr: 1/(x*ln(10))
    label: y = 1/(x ln 10) (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [0.25, 10]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [10, 1, '(10, 1)']
```

## Ableitungen für gängige Basen

| Funktion | Ableitung | Näherungsweise |
| --- | --- | --- |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_{10} x$ | $\frac{1}{x\ln 10}$ | $\frac{0.4343}{x}$ |
| $\log_2 x$ | $\frac{1}{x\ln 2}$ | $\frac{1.4427}{x}$ |
| $\log_3 x$ | $\frac{1}{x\ln 3}$ | $\frac{0.9102}{x}$ |

## Mit der Kettenregel und Beispiele

$$\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\log_{10}(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\log_2(3x) = \frac{3}{3x\ln 2} = \frac{1}{x\ln 2}$. Die $3$ kürzt sich, genau wie bei der [Ableitung von ln(2x)](/derivatives/ln-2x).

**Beispiel 3: Produktregel.** Für $f(x) = x\log_{10} x$ gilt

$$f'(x) = \log_{10} x + x\cdot\frac{1}{x\ln 10} = \log_{10} x + \frac{1}{\ln 10}$$

**Beispiel 4: Dezibel.** Der Schallpegel ist $L = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}$. Dann gilt $\frac{dL}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}$, jede zusätzliche Einheit Intensität fällt also umso weniger ins Gewicht, je größer $I$ ist.

## Umkehrfunktion von aˣ

$\log_b x$ ist die Umkehrfunktion von $b^x$, dessen Ableitung $b^x\ln b$ ist (siehe die [Ableitung von 2ˣ und aˣ](/derivatives/2-to-the-x)). Bei der einen steht $\ln b$ im Zähler, bei der anderen im Nenner, genau wie es die [Ableitung der Umkehrfunktion](/rules/inverse-function-rule) vorhersagt.

## Typische Fehler

1. **Für die Basis 10 $\frac{1}{x}$ schreiben.** Das stimmt nur für den natürlichen Logarithmus.
2. **$\log 10$ statt $\ln 10$ schreiben.** Der Faktor ist immer ein natürlicher Logarithmus. ($\log_{10} 10 = 1$, damit würde er fälschlich wegfallen.)
3. **$\frac{\ln 10}{x}$ schreiben.** Das $\ln b$ gehört in den Nenner.

Mehr dazu findest du bei den [Logarithmusfunktionen](/functions/logarithmic-functions) und in den [Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von log x?

Wenn $\log x$ die Basis 10 meint, ist die Ableitung $\frac{1}{x\ln 10}$. Meint es den natürlichen Logarithmus, wie in vielen fortgeschrittenen Texten, ist die Ableitung $\frac{1}{x}$.

### Was ist die Ableitung des Logarithmus zur Basis 2?

Sie lautet $\frac{1}{x\ln 2}$, also ungefähr $\frac{1.443}{x}$.

### Warum steht in der Ableitung eines Zehnerlogarithmus ein ln?

Weil $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ gilt. Die Ableitung von $\ln x$ ist $\frac{1}{x}$, und die Konstante $\frac{1}{\ln 10}$ bleibt einfach stehen.

### Was ist die Ableitung von log(x² + 1)?

Zur Basis 10 lautet sie $\frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}$.