# Ableitung von sec²x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von sec²x ist 2sec²x tan x. Mit zwei Beweisen, einem über die Kettenregel und einem über 1 + tan²x, sowie Beispielen wie sec²(3x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-sec-quadrat-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $2\sec^2 x\tan x$ für $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Mit sin und cos:** $\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'$
- **Zusammenhang mit tan x:** $\sec^2 x$ ist die Ableitung von $\tan x$, das hier ist also $\frac{d^2}{dx^2}\tan x$
- **Integral von sec²x:** $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\sec^2 x$ ist $2\sec^2 x\tan x$.
- Behandle $\sec^2 x$ als $(\sec x)^2$: Das äußere Quadrat liefert $2\sec x$, die innere Funktion $\sec x\tan x$.
- Da $\sec^2 x = \frac{d}{dx}\tan x$ gilt, ist dieses Ergebnis auch die zweite Ableitung von $\tan x$.
- Verwechsle es nicht mit der Ableitung von $\tan x$, die $\sec^2 x$ selbst ist.

Die **Ableitung von $\sec^2 x$ ist $2\sec^2 x\tan x$**. Lies $\sec^2 x$ als $(\sec x)^2$ und wende dann einmal die Kettenregel an.

$$\frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x$$

## Graph von sec²x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = sec²x und seiner Ableitung y = 2sec²x tan x'
caption: 'Der U-förmige Ast von $\sec^2 x$ hat sein Minimum bei $x = 0$, wo die Ableitung die Null durchläuft.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-8, 8]
functions:
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec²x
    domain: [-1.25, 1.25]
  - expr: 2sec(x)^2tan(x)
    label: y = 2sec²x tan x (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [-1.0, 1.0]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 1, 'Minimum, Steigung 0']
```

## Beweis 1: Kettenregel für (sec x)²

Die äußere Funktion ist das Quadrat, die innere ist $\sec x$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) und der [Ableitung von sec x](/derivatives/sec-x):

$$\frac{d}{dx}(\sec x)^2 = 2\sec x\cdot\frac{d}{dx}\sec x = 2\sec x\cdot\sec x\tan x = 2\sec^2 x\tan x$$

## Beweis 2: mit 1 + tan²x

Die Identität $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ bietet einen zweiten Weg. Die $1$ fällt weg, und $\tan^2 x$ ist ein Quadrat von $\tan x$:

$$\frac{d}{dx}\left(1 + \tan^2 x\right) = 2\tan x\cdot\sec^2 x$$

Beide Wege stimmen überein, eine gute Probe für die Identität.

## Beweis 3: über cos x

Es gilt $\sec^2 x = (\cos x)^{-2}$, also

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-2} = -2(\cos x)^{-3}\cdot(-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$$

Zerlege das als $2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sec^2 x\tan x$.

## Warum das die zweite Ableitung von tan x ist

Die [Ableitung von tan x](/derivatives/tan-x) ist $\sec^2 x$. $\sec^2 x$ abzuleiten ist also dasselbe, wie $\tan x$ zweimal abzuleiten:

$$\frac{d^2}{dx^2}\tan x = 2\sec^2 x\tan x$$

Das Vorzeichen davon verrät dir die Krümmung von $\tan x$: rechtsgekrümmt für $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ und linksgekrümmt für $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

## Varianten mit der Kettenregel

$$\frac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\sec^2(3x) = 6\sec^2(3x)\tan(3x)$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\sec^2(x^2) = 4x\sec^2(x^2)\tan(x^2)$.

**Beispiel 3: ein Wert.** Bei $x = \frac{\pi}{4}$ ist $\sec^2\frac{\pi}{4} = 2$ und $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, die Steigung ist also $2\cdot 2\cdot 1 = 4$.

**Beispiel 4: ein Produkt.** $\frac{d}{dx}(x\sec^2 x) = \sec^2 x + 2x\sec^2 x\tan x$.

## Wo dir das begegnet

Die Ableitung von $\sec^2 x$ taucht vor allem an zwei Stellen auf. Erstens bei der Bestimmung von Krümmung und Wendepunkten von $\tan x$, denn $\sec^2 x$ ist dessen erste Ableitung. Zweitens beim Integrieren: Erkennst du $2\sec^2 x\tan x$ als Ableitung, kannst du sie mit der Substitutionsregel schnell rückgängig machen. Mit $u = \tan x$ wird $\int 2\tan x\sec^2 x\,dx$ zu $\int 2u\,du = \tan^2 x + C$. Da sich $\tan^2 x$ und $\sec^2 x$ nur um $1$ unterscheiden, ist das dieselbe Familie von Stammfunktionen.

## Typische Fehler

1. **Bei $2\sec x$ aufhören.** Das ist nur die äußere Ableitung. Multipliziere mit $\sec x\tan x$.
2. **$\tan x$ als Antwort.** $\tan x$ ist das Integral von $\sec^2 x$, nicht seine Ableitung. Siehe das [Integral von sec²x](/integrals/sec-squared-x).
3. **$\sec^2 x$ wie $\sec(x^2)$ behandeln.** $\frac{d}{dx}\sec(x^2) = 2x\sec(x^2)\tan(x^2)$, und das ist etwas anderes.

Quadrate von Sinus und Kosinus folgen demselben Muster: siehe die [Ableitung von sin²x](/derivatives/sin-squared-x) und die [Ableitung von cos²x](/derivatives/cos-squared-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von sec²x?

Sie lautet $2\sec^2 x\tan x$.

### Was ist die zweite Ableitung von tan x?

Die erste Ableitung ist $\sec^2 x$, und deren Ableitung ist $2\sec^2 x\tan x$. Also gilt $\frac{d^2}{dx^2}\tan x = 2\sec^2 x\tan x$.

### Was ist die Ableitung von sec²(2x)?

Mit der Kettenregel: $2\sec(2x)\cdot\sec(2x)\tan(2x)\cdot 2 = 4\sec^2(2x)\tan(2x)$.

### Ist die Ableitung von sec²x gleich tan x?

Nein, das ist genau umgekehrt. $\tan x$ ist die Stammfunktion von $\sec^2 x$. Die Ableitung von $\sec^2 x$ ist $2\sec^2 x\tan x$.