# Ableitung von sec x (Sekans): Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von sec x ist sec x tan x. Mit Beweis über 1/cos x, der Kettenregel für sec(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie sec(2x) und x sec x.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-sec-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\sec x\tan x$ für $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Mit sin und cos:** $\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'$
- **Steigung bei x = 0:** $\sec 0\tan 0 = 0$
- **Als Integral:** $\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\sec x$ ist $\sec x\tan x$.
- Sie folgt, wenn du $\sec x = (\cos x)^{-1}$ schreibst und die Kettenregel anwendest.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u\cdot u'$.
- Rückwärts gelesen ergibt sich $\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C$.

Die **Ableitung von $\sec x$ ist $\sec x\tan x$**. Der Sekans ist der Kehrwert des Kosinus, seine Ableitung folgt also direkt aus der [Ableitung von cos x](/derivatives/cos-x).

$$\frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x$$

## Graph von sec x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = sec x und seiner Ableitung y = sec x tan x'
caption: 'Ein Ast von $\sec x$. Er hat ein Minimum bei $x = 0$, wo die Ableitung $0$ ist. Links von $0$ ist die Steigung negativ, rechts von $0$ positiv.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: sec(x)tan(x)
    label: y = sec x tan x (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [-1.25, 1.25]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 1, 'Minimum, Steigung 0']
```

## Beweis mit der Kettenregel

Schreibe $\sec x = (\cos x)^{-1}$. Die [Kettenregel](/rules/chain-rule) mit der Potenz $-1$ außen und $\cos x$ innen liefert

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

Zerlege den Bruch in zwei vertraute Teile:

$$\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$$

Die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) für $\frac{1}{\cos x}$ liefert dasselbe: $\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von sec(u)

$$\frac{d}{dx}\,\sec u = \sec u\tan u\cdot u'$$

$\sec$ und $\tan$ behalten beide dieselbe innere Funktion.

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\sec(2x)$ | $2x$ | $2\sec(2x)\tan(2x)$ |
| $\sec(x^2)$ | $x^2$ | $2x\sec(x^2)\tan(x^2)$ |
| $\sec(3x + 1)$ | $3x + 1$ | $3\sec(3x + 1)\tan(3x + 1)$ |
| $\sec\left(\frac{1}{x}\right)$ | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}\sec\frac{1}{x}\tan\frac{1}{x}$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Produkt.** $\frac{d}{dx}(x\sec x) = \sec x + x\sec x\tan x = \sec x(1 + x\tan x)$.

**Beispiel 2: eine Potenz.** $\frac{d}{dx}\sec^3 x = 3\sec^2 x\cdot\sec x\tan x = 3\sec^3 x\tan x$.

**Beispiel 3: eine Summe, die sich vereinfacht.** $\frac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$. Dieses schöne Ergebnis ist der Trick hinter dem [Integral von sec x](/integrals/sec-x), $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

**Beispiel 4: ein Wert.** Bei $x = \frac{\pi}{3}$ ist $\sec\frac{\pi}{3} = 2$ und $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, die Steigung ist also $2\sqrt{3} \approx 3.46$.

## So merkst du es dir

Sekans und Tangens treten in der Analysis immer gemeinsam auf. Die Ableitung von $\tan x$ ist $\sec^2 x$, und die Ableitung von $\sec x$ ist $\sec x\tan x$. So hältst du sie auseinander: In der Ableitung des Tangens kommt kein Tangens vor, die Ableitung des Sekans enthält beide Funktionen je einmal. Auch ein Wert hilft beim Prüfen. Bei $x = 0$ hat der Sekans sein Minimum, die Steigung muss also null sein, und tatsächlich ist $\tan 0 = 0$.

## Typische Fehler

1. **$\tan^2 x$ oder $\sec^2 x$ schreiben.** Die Ableitung von $\sec x$ ist $\sec x\tan x$. $\sec^2 x$ ist die Ableitung von $\tan x$.
2. **Ein Minuszeichen hinzufügen.** Der Sekans ist keine "Ko"-Funktion, seine Ableitung ist also positiv. Vergleiche mit der [Ableitung von csc x](/derivatives/csc-x), $-\csc x\cot x$.
3. **Nur eine innere Funktion ändern.** $\frac{d}{dx}\sec(5x) = 5\sec(5x)\tan(5x)$. Beide Faktoren behalten $5x$.

Rückwärts gelesen ergibt sich das [Integral von sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x). Die Seite zu den [reziproken trigonometrischen Funktionen](/functions/reciprocal-trig-functions) zeigt den Graphen des Sekans.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von sec x?

Die Ableitung von $\sec x$ ist $\sec x\tan x$.

### Wie beweist man die Ableitung von sec x?

Schreibe $\sec x = (\cos x)^{-1}$. Die Kettenregel liefert $-(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$.

### Was ist die Ableitung von sec(2x)?

Mit der Kettenregel: $2\sec(2x)\tan(2x)$.

### Was ist die Ableitung von sec²x?

Sie lautet $2\sec x\cdot\sec x\tan x = 2\sec^2 x\tan x$.