# Ableitung von sin 2x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von sin 2x ist 2cos 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit 2 sin x cos x, der allgemeinen Regel für sin(ax) und Rechenbeispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-sin-2x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $2\cos 2x$
- **Allgemeine Regel:** $\dfrac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)$
- **Zweite Ableitung:** $-4\sin 2x$
- **Periode:** $\pi$, halb so lang wie die Periode von $\sin x$
- **Integral von sin 2x:** $\int\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\sin 2x$ ist $2\cos 2x$. Die 2 aus dem Inneren kommt nach vorne.
- Allgemein gilt $\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)$.
- Die innere Funktion $2x$ bleibt im Ergebnis gleich. Mach daraus nicht $x$.
- Schreibst du $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ und nimmst die Produktregel, erhältst du dasselbe Ergebnis.

Die **Ableitung von $\sin 2x$ ist $2\cos 2x$**. Die Kettenregel holt den inneren Faktor $2$ nach vorne, und die innere Funktion $2x$ bleibt gleich.

$$\frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x$$

## Graph von sin 2x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = sin 2x und seiner Ableitung y = 2cos 2x'
caption: '$\sin 2x$ schwingt doppelt so schnell wie $\sin x$, seine Steigungen sind also doppelt so steil. Die Ableitung erreicht $\pm 2$.'
x: [-3.3, 3.3]
y: [-2.5, 2.5]
functions:
  - expr: sin(2x)
    label: y = sin 2x
  - expr: 2cos(2x)
    label: y = 2cos 2x (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'Steigung 2']
  - [0.7854, 1, 'Hochpunkt, Steigung 0']
```

## Beweis mit der Kettenregel

Äußere Funktion $\sin u$, innere Funktion $u = 2x$, also $u' = 2$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) und der [Ableitung von sin x](/derivatives/sin-x):

$$\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos 2x$$

## Probe mit der Formel für den doppelten Winkel

Schreibe $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ und nutze die [Produktregel](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x) = 2\left(\cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x)\right) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$$

Mit der Formel $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ wird daraus $2\cos 2x$. Zwei Methoden, ein Ergebnis.

## Warum die 2 nach vorne kommt

Stauchst du den Graphen waagerecht um den Faktor 2, wird er überall doppelt so steil. Genau das hält der Faktor $2$ vor $\cos 2x$ fest. Allgemein gilt:

$$\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax), \qquad \frac{d}{dx}\sin(ax + b) = a\cos(ax + b)$$

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $\sin 3x$ | $3\cos 3x$ |
| $\sin\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$ |
| $\sin(2x + 1)$ | $2\cos(2x + 1)$ |
| $\sin(\pi x)$ | $\pi\cos(\pi x)$ |
| $5\sin 2x$ | $10\cos 2x$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Wert.** Bei $x = \frac{\pi}{6}$ ist die Steigung $2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$.

**Beispiel 2: ein Produkt.** $\frac{d}{dx}(x\sin 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x$.

**Beispiel 3: höhere Ableitungen.** Jede Ableitung bringt eine weitere $2$ hervor: $\frac{d^2}{dx^2}\sin 2x = -4\sin 2x$, $\frac{d^3}{dx^3}\sin 2x = -8\cos 2x$ und $\frac{d^4}{dx^4}\sin 2x = 16\sin 2x$.

**Beispiel 4: ein Zusammenhang mit sin²x.** Die [Ableitung von sin²x](/derivatives/sin-squared-x) ist $\sin 2x$. Also ist $\sin^2 x$ eine Stammfunktion von $\sin 2x$, und $-\frac{1}{2}\cos 2x$ ebenso. Die beiden unterscheiden sich um eine Konstante, denn $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$.

## Wo dir das begegnet

Die Funktion $\sin 2x$ taucht immer dann auf, wenn sich eine Schwingung doppelt so oft wiederholt wie $\sin x$. Sie erscheint auch als vereinfachtes Ergebnis, zum Beispiel als Ableitung von $\sin^2 x$. Kennst du ihre Ableitung, sparst du also Zeit bei zweiten Ableitungen. In der Physik steckt $\sin 2\theta$ in der Wurfweite beim schiefen Wurf, und ihre Ableitung sagt dir, wie sich die Wurfweite ändert, wenn du den Abwurfwinkel veränderst.

## Typische Fehler

1. **Die 2 vergessen.** $\frac{d}{dx}\sin 2x$ ist nicht $\cos 2x$.
2. **Die innere Funktion verändern.** Das Ergebnis ist $2\cos 2x$, nicht $2\cos x$.
3. **Teilen statt multiplizieren.** Das $\frac{1}{2}$ kommt beim Integrieren vor, nicht beim Ableiten. Siehe das [Integral von sin 2x](/integrals/sin-2x).
4. **$\sin 2x$ mit $2\sin x$ verwechseln.** $\frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x$. Die Graphen sind verschieden.

Weitere Übungen findest du bei den [Aufgaben zur Kettenregel](/practice-problems/chain-rule).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von sin 2x?

Sie lautet nach der Kettenregel $2\cos 2x$.

### Warum ist die Ableitung von sin 2x nicht cos 2x?

Wegen der Kettenregel. Die innere Funktion $2x$ hat die Ableitung $2$, und mit der musst du multiplizieren.

### Was ist die Ableitung von 2 sin x cos x?

Sie ist $2\cos 2x$, denn $2\sin x\cos x = \sin 2x$. Die Produktregel liefert $2(\cos^2 x - \sin^2 x)$, und das ist dasselbe.

### Was ist die Ableitung von sin(2x + 1)?

Sie ist $2\cos(2x + 1)$. Die Konstante $1$ ändert die innere Ableitung nicht.