# Ableitung von sin²x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von sin²x ist 2 sin x cos x, also sin 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit der Formel für den doppelten Winkel und Beispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-sin-quadrat-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $2\sin x\cos x$
- **Vereinfacht:** $\sin 2x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u'$
- **Nicht zu verwechseln mit:** $\sin(x^2)$, dessen Ableitung $2x\cos(x^2)$ ist
- **Integral von sin²x:** $\int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\sin^2 x$ ist $2\sin x\cos x$, vereinfacht $\sin 2x$.
- Lies $\sin^2 x$ als $(\sin x)^2$: Das Quadrat ist die äußere Funktion, $\sin x$ die innere.
- Die Identität $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ liefert dasselbe Ergebnis, eine nützliche Probe.
- $\sin^2 x$ und $\sin(x^2)$ sind verschiedene Funktionen mit verschiedenen Ableitungen.

Die **Ableitung von $\sin^2 x$ ist $2\sin x\cos x$**, was sich mit der Formel für den doppelten Winkel zu $\sin 2x$ verkürzt.

$$\frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x$$

## Graph von sin²x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = sin²x und seiner Ableitung y = sin 2x'
caption: '$\sin^2 x$ pendelt mit der Periode $\pi$ zwischen $0$ und $1$. Seine Steigung ist an jedem Hochpunkt und an jeder Berührstelle mit der Achse $0$, also dort, wo $\sin 2x = 0$ ist.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.6]
functions:
  - expr: sin(x)^2
    label: y = sin²x
  - expr: sin(2x)
    label: y = sin 2x (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0.7854, 0.5, 'am steilsten, Steigung 1']
  - [1.5708, 1, 'Hochpunkt, Steigung 0']
```

## Beweis mit der Kettenregel

Die Schreibweise $\sin^2 x$ bedeutet $(\sin x)^2$. Außen steht das Quadrat, innen $\sin x$. Die [Kettenregel](/rules/chain-rule) liefert

$$\frac{d}{dx}(\sin x)^2 = 2\sin x\cdot\frac{d}{dx}\sin x = 2\sin x\cos x$$

Mit der Identität $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ wird daraus kurz $\sin 2x$.

## Probe mit einer Formel für den doppelten Winkel

Forme zuerst mit $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ um:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x) = \sin 2x$$

Gleiches Ergebnis, ohne Kettenregel für ein Quadrat. Mit dieser Formel zur Potenzreduktion integrierst du die Funktion auch, siehe das [Integral von sin²x](/integrals/sin-squared-x).

## Probe mit der Produktregel

Schreibe $\sin^2 x = \sin x\cdot\sin x$ und nutze die [Produktregel](/rules/product-rule): $\cos x\sin x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x$.

## Varianten mit der Kettenregel

$$\frac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u' = \sin(2u)\cdot u'$$

| Funktion | Ableitung | Vereinfacht |
| --- | --- | --- |
| $\sin^2(3x)$ | $6\sin 3x\cos 3x$ | $3\sin 6x$ |
| $\sin^2(x^2)$ | $4x\sin(x^2)\cos(x^2)$ | $2x\sin(2x^2)$ |
| $\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\sin x$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine höhere Potenz.** $\frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x$.

**Beispiel 2: ein Wert.** Bei $x = \frac{\pi}{4}$ ist die Steigung $\sin\frac{\pi}{2} = 1$. Das ist die steilste Stelle von $\sin^2 x$.

**Beispiel 3: maximale Steigung.** Die Ableitung $\sin 2x$ ist höchstens $1$, also steigt $\sin^2 x$ nie steiler als mit Steigung $1$, genauso wie $\sin x$.

**Beispiel 4: zweite Ableitung.** $\frac{d}{dx}\sin 2x = 2\cos 2x$, also ist $\sin^2 x$ dort linksgekrümmt, wo $\cos 2x > 0$ ist, zum Beispiel auf $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$.

## Warum das Ergebnis die Periode π hat

Die Funktion $\sin^2 x$ wird nie negativ, ihr Graph wiederholt sich also alle $\pi$ statt alle $2\pi$. Auch die Ableitung $\sin 2x$ hat die Periode $\pi$, und das ist eine gute Plausibilitätsprüfung: Eine Funktion und ihre Ableitung sollten sich gemeinsam wiederholen. Hätte dein Ergebnis die Periode $2\pi$, zum Beispiel $2\cos x$, wäre etwas schiefgelaufen. Über die Periode findest du Fehler schnell, ohne die ganze Rechnung zu wiederholen.

## Typische Fehler

1. **$\cos^2 x$ als Antwort.** Die Ableitung zu quadrieren ist nicht die Kettenregel.
2. **$2\cos x$ als Antwort.** Die Ableitung des Quadrats ist $2\sin x$, danach multiplizierst du mit $\cos x$.
3. **$\sin^2 x$ und $\sin(x^2)$ verwechseln.** Siehe die [Ableitung von sin(x²)](/derivatives/sin-x-squared): $2x\cos(x^2)$.

Die Kosinus-Version findest du auf der Seite zur [Ableitung von cos²x](/derivatives/cos-squared-x), und das Ergebnis $\sin 2x$ hat eine eigene Seite zur [Ableitung von sin 2x](/derivatives/sin-2x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von sin²x?

Sie lautet $2\sin x\cos x$, und das ist dasselbe wie $\sin 2x$.

### Was ist die Ableitung von sin²(3x)?

Mit zweimaliger Kettenregel: $2\sin(3x)\cdot\cos(3x)\cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$.

### Ist die Ableitung von sin²x gleich 2 cos x?

Nein. Das überspringt die Kettenregel. Das Quadrat liefert $2\sin x$, dann multiplizierst du mit der Ableitung von $\sin x$, also $\cos x$.

### Warum ergeben die Ableitungen von sin²x und cos²x zusammen null?

Weil $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ eine Konstante ist. Tatsächlich gilt $\sin 2x + (-\sin 2x) = 0$.