# Ableitung von sin(x²): Formel, Beweis und Beispiele > Die Ableitung von sin(x²) ist 2x cos(x²). Mit der Kettenregel Schritt für Schritt, dem Unterschied zu sin²x, der zweiten Ableitung und Rechenbeispielen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-sin-x-quadrat Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2) $$ ## Auf einen Blick - **Ableitung:** $2x\cos(x^2)$ - **Äußere und innere Funktion:** Äußere $\sin u$, innere $u = x^2$ - **Zweite Ableitung:** $2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$ - **Nicht zu verwechseln mit:** $\sin^2 x$, dessen Ableitung $\sin 2x$ ist - **Integral:** $\int\sin(x^2)\,dx$ hat keine elementare Stammfunktion ## Das Wichtigste - Die Ableitung von $\sin(x^2)$ ist $2x\cos(x^2)$. - Es ist eine Aufgabe zur Kettenregel: Kosinus derselben inneren Funktion mal die Ableitung von $x^2$. - Lass $x^2$ im Kosinus stehen. Das Ergebnis ist nicht $2x\cos x$. - $\sin(x^2)$ und $\sin^2 x$ sind verschiedene Funktionen, achte also auf die Schreibweise. Die **Ableitung von $\sin(x^2)$ ist $2x\cos(x^2)$**. Das ist eine klassische Aufgabe zur [Kettenregel](/rules/chain-rule): Der Sinus steht außen, $x^2$ innen. $$\frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)$$ ## Graph von sin(x²) und seiner Ableitung ```graph title: 'Graph von y = sin(x²) und seiner Ableitung y = 2x cos(x²)' caption: 'Die Wellen von $\sin(x^2)$ rücken enger zusammen, je größer $\lvert x\rvert$ wird, die Steigungen werden also steiler. Genau das erfasst der Faktor $2x$ in der Ableitung.' x: [-3.2, 3.2] y: [-7, 7] functions: - expr: sin(x^2) label: y = sin(x²) - expr: 2x cos(x^2) label: y = 2x cos(x²) (Ableitung) dashed: true points: - [0, 0, 'waagerecht, Steigung 0'] - [1.2533, 1, 'Hochpunkt, Steigung 0'] ``` Anders als $\sin x$ ist diese Funktion nicht periodisch. Sie wird schneller, je weiter du dich von $0$ entfernst, und die Ableitung wächst ungefähr wie $2x$. ## Beweis mit der Kettenregel Setze $u = x^2$, also $y = \sin u$. Dann gilt $$\frac{dy}{du} = \cos u, \qquad \frac{du}{dx} = 2x$$ Multipliziere: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \cos u\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ Die innere Funktion $x^2$ wird unverändert in den Kosinus übernommen. Ihre Ableitung $2x$ kommt nach vorne. Die beiden Zutaten sind die [Ableitung von sin x](/derivatives/sin-x) und die [Ableitung von x²](/derivatives/x-squared). ## sin(x²) im Vergleich zu sin²x Diese beiden werden leicht verwechselt und haben verschiedene Ableitungen: | Funktion | Bedeutung | Ableitung | | --- | --- | --- | | $\sin(x^2)$ | Sinus von $x^2$ | $2x\cos(x^2)$ | | $\sin^2 x$ | $(\sin x)^2$ | $2\sin x\cos x = \sin 2x$ | | $\sin 2x$ | Sinus von $2x$ | $2\cos 2x$ | Bei $x = 1$ zum Beispiel ist $\sin(1) \approx 0.841$, aber $\sin^2(1) \approx 0.708$. Siehe die [Ableitung von sin²x](/derivatives/sin-squared-x) und die [Ableitung von sin 2x](/derivatives/sin-2x). ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: eine Konstante im Inneren.** $\frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$. **Beispiel 2: ein Wert.** Bei $x = \sqrt{\pi}$ ist $x^2 = \pi$ und $\cos\pi = -1$, die Steigung ist also $2\sqrt{\pi}\cdot(-1) = -2\sqrt{\pi} \approx -3.54$. **Beispiel 3: ein Produkt.** Mit der [Produktregel](/rules/product-rule): $$\frac{d}{dx}\left(x\sin(x^2)\right) = \sin(x^2) + x\cdot 2x\cos(x^2) = \sin(x^2) + 2x^2\cos(x^2)$$ **Beispiel 4: zweite Ableitung.** Leite $2x\cos(x^2)$ mit der Produktregel ab: $$\frac{d}{dx}\left(2x\cos(x^2)\right) = 2\cos(x^2) + 2x\cdot\left(-2x\sin(x^2)\right) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$$ **Beispiel 5: andere Potenzen.** $\frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3)$ und $\frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2)$. ## Äußere und innere Funktion erkennen Das Schwierigste an dieser Aufgabe ist, sie richtig zu lesen. Frag dich, welche Rechenoperation du zuletzt ausführen würdest, wenn du eine Zahl einsetzt. Bei $\sin(x^2)$ mit $x = 3$ quadrierst du zuerst und erhältst $9$, dann nimmst du den Sinus. Der letzte Schritt, der Sinus, ist die äußere Funktion. Der erste Schritt, das Quadrieren, ist die innere. Diese Reihenfolge sagt dir genau, wie du die Kettenregel anwendest. Derselbe Test funktioniert bei jeder Verkettung: Was zuletzt passiert, wird zuerst abgeleitet, und der Rest wird als innere Ableitung dazumultipliziert. ## Typische Fehler 1. **Das $2x$ weglassen.** $\cos(x^2)$ allein ist nur die äußere Ableitung. 2. **Die innere Funktion verändern.** Wer $2x\cos x$ oder $\cos 2x$ schreibt, verliert das $x^2$. 3. **Es als $\sin^2 x$ lesen.** Prüfe die Klammern, bevor du anfängst. Die Kettenregel rückwärts angewendet ist die [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule): $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$. Übe weiter mit den [Aufgaben zur Kettenregel](/practice-problems/chain-rule). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung von sin(x²)? Sie lautet $2x\cos(x^2)$. Die äußere Ableitung ist $\cos(x^2)$, die innere Ableitung $2x$. ### Was ist der Unterschied zwischen sin(x²) und sin²x? Bei $\sin(x^2)$ quadrierst du zuerst $x$ und nimmst dann den Sinus. Bei $\sin^2 x = (\sin x)^2$ nimmst du zuerst den Sinus und quadrierst dann. Die Ableitungen sind $2x\cos(x^2)$ und $2\sin x\cos x$. ### Was ist die Ableitung von sin(3x²)? Sie lautet $6x\cos(3x^2)$, denn die Ableitung von $3x^2$ ist $6x$. ### Was ist das Integral von sin(x²)? Es gibt keine Formel aus elementaren Funktionen. Es definiert das Fresnel-Integral und wird meist numerisch berechnet. Dagegen gilt mit der Substitutionsregel $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$.