# Ableitung von sin x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von sin x ist cos x. Mit Beweis über den Grenzwert, der Kettenregel für sin(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie sin(3x) und x sin x.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-sin-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\cos x$ für jedes reelle $x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'$
- **Zweite Ableitung:** $-\sin x$
- **Einheit:** $x$ muss im Bogenmaß angegeben sein
- **Als Integral:** $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'$, also $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$.
- Der Beweis beruht auf zwei Grenzwerten: $\frac{\sin h}{h} \to 1$ und $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$.
- Die Formel gilt nur, wenn $x$ im Bogenmaß gemessen wird.

Die **Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$**. Wo die Sinuskurve steigt, ist der Kosinus positiv. Wo sie fällt, ist der Kosinus negativ.

$$\frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x$$

## Graph von sin x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = sin x und seiner Ableitung y = cos x'
caption: 'In den Hoch- und Tiefpunkten von $\sin x$ ist die Steigung $0$, und $\cos x$ schneidet die Achse. Bei $x = 0$ ist die Steigung von $\sin x$ gleich $1 = \cos 0$.'
x: [-6.5, 6.5]
y: [-1.8, 1.8]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sin x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'Steigung 1']
  - [1.5708, 1, 'Hochpunkt, Steigung 0']
```

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

Nutze das Additionstheorem $\sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$:

$$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$$

Zwei Standardgrenzwerte schließen den Beweis ab. Für $h \to 0$ gilt $\frac{\sin h}{h} \to 1$ (bewiesen mit dem [Sandwich-Satz](/theorems/squeeze-theorem)) und $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$. Also gilt

$$\frac{d}{dx}\sin x = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

Der Grenzwert $\frac{\sin h}{h} \to 1$ gilt nur, wenn $h$ im Bogenmaß gemessen wird. Das ist der eigentliche Grund, warum man in der Analysis im Bogenmaß rechnet.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von sin(u)

$$\frac{d}{dx}\,\sin u = \cos u \cdot u'$$

Lass die innere Funktion gleich, mach aus dem Sinus einen Kosinus und multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion. Siehe die [Kettenregel](/rules/chain-rule).

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\sin(3x)$ | $3x$ | $3\cos(3x)$ |
| $\sin(2x)$ | $2x$ | $2\cos(2x)$ |
| $\sin(x^2)$ | $x^2$ | $2x\cos(x^2)$ |
| $\sin(e^x)$ | $e^x$ | $e^x\cos(e^x)$ |
| $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ |

Ausführliche Seiten: [Ableitung von sin 2x](/derivatives/sin-2x) und [Ableitung von sin(x²)](/derivatives/sin-x-squared).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Produkt.** Leite $f(x) = x\sin x$ mit der [Produktregel](/rules/product-rule) ab:

$$f'(x) = \sin x + x\cos x$$

**Beispiel 2: eine Potenz des Sinus.** $\frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x$. Die äußere Funktion ist die dritte Potenz, die innere ist $\sin x$.

**Beispiel 3: eine Tangente.** Bei $x = \frac{\pi}{3}$ ist $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und die Steigung $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$

**Beispiel 4: höhere Ableitungen.** Die Ableitungen von $\sin x$ wiederholen sich alle vier Schritte: $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$, dann wieder $\sin x$. Die 10. Ableitung ist also dieselbe wie die 2.: $-\sin x$.

## Typische Fehler

1. **Ein Minuszeichen hinzufügen.** $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$, positiv. Das Minus gehört zur [Ableitung von cos x](/derivatives/cos-x).
2. **Die innere Funktion verändern.** $\frac{d}{dx}\sin(3x)$ ist $3\cos(3x)$, nicht $3\cos x$ oder $\cos 3$.
3. **$\sin^2 x$ und $\sin(x^2)$ verwechseln.** Ihre Ableitungen sind $2\sin x\cos x$ und $2x\cos(x^2)$.
4. **Im Gradmaß rechnen.** Im Gradmaß taucht ein zusätzlicher Faktor $\frac{\pi}{180}$ auf.

Die Umkehrung steht auf der Seite zum [Integral von sin x](/integrals/sin-x). Einen vollständigen Überblick gibt der Artikel über die [Ableitungen trigonometrischer Funktionen](/blog/derivatives-of-trig-functions), üben kannst du mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Ableitungen](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von sin x?

Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$.

### Was ist die Ableitung von sin(3x)?

Mit der Kettenregel: $\cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

### Was ist die Ableitung von sin x im Gradmaß?

Wenn $x$ in Grad angegeben ist, gilt $\frac{d}{dx}\sin x^\circ = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ$. Das einfache Ergebnis $\cos x$ gilt nur im Bogenmaß, deshalb rechnet man in der Analysis im Bogenmaß.

### Ist die Ableitung von sin x gleich -cos x?

Nein. $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$. Das Minuszeichen gehört zum Integral, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, und zur Ableitung des Kosinus, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.