# Ableitung von sinh x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von sinh x ist cosh x. Mit Beweis über die Definition mit Exponentialfunktionen, warum kein Minuszeichen auftaucht, Kettenregel und Graph.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-sinh-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\cosh x$
- **Definition:** $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$
- **Zweite Ableitung:** $\sinh x$
- **Ableitung der Umkehrfunktion:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\sinh x$ ist $\cosh x$.
- Der Beweis folgt direkt aus $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
- Anders als bei $\sin x$ und $\cos x$ gibt es keine Minuszeichen: $\sinh$ und $\cosh$ sind gegenseitig ihre Ableitungen.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$.

Die **Ableitung von $\sinh x$ ist $\cosh x$**. Der Sinus hyperbolicus verhält sich in vielem wie der gewöhnliche Sinus, aber bei den Vorzeichen seiner Ableitung gibt es keine Überraschungen.

$$\frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x$$

## Beweis über die Definition

Sinus und Kosinus hyperbolicus sind über Exponentialfunktionen definiert:

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Leite $\sinh x$ summandenweise ab. Die [Ableitung von eˣ](/derivatives/e-to-the-x) ist $e^x$, und die [Ableitung von e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) ist $-e^{-x}$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Die beiden Minuszeichen heben sich auf, deshalb lautet das Ergebnis $+\cosh x$.

## Graph von sinh x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = sinh x und seiner Ableitung y = cosh x'
caption: 'Die Steigung von $\sinh x$ ist nie kleiner als $1$, der Wert von $\cosh 0$. Also steigt $\sinh x$ immer und verläuft im 45°-Winkel durch den Ursprung.'
x: [-3, 3]
y: [-6, 6]
functions:
  - expr: sinh(x)
    label: y = sinh x
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'Steigung 1']
```

Weil $\cosh x \ge 1$ für jedes $x$ gilt, steigt der Graph von $\sinh x$ immer, und seine kleinste Steigung ist $1$ im Ursprung. Seine Tangente bei $0$ ist $y = x$.

## Hyperbelfunktionen und Kreisfunktionen im Vergleich

| Kreisfunktion | Ableitung | Hyperbelfunktion | Ableitung |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |

Der gewöhnliche Sinus durchläuft einen Zyklus der Länge vier: $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$. Der Sinus hyperbolicus hat einen Zyklus der Länge zwei: $\sinh \to \cosh \to \sinh$. Deshalb löst $y = \sinh x$ die Gleichung $y'' = y$, während $y = \sin x$ die Gleichung $y'' = -y$ löst.

## Mit der Kettenregel und Beispiele

$$\frac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\sinh(3x) = 3\cosh(3x)$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\sinh(x^2) = 2x\cosh(x^2)$.

**Beispiel 3: Produktregel.** $\frac{d}{dx}\,x\sinh x = \sinh x + x\cosh x$.

**Beispiel 4: eine Potenz.** $\frac{d}{dx}\sinh^2 x = 2\sinh x\cosh x = \sinh(2x)$, mit der Identität $\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$.

**Beispiel 5: ein Logarithmus.** $\frac{d}{dx}\ln(\sinh x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x$ für $x > 0$.

## Ableitung der Umkehrfunktion arsinh x

Der Areasinus hyperbolicus hat eine Darstellung mit dem Logarithmus, $\operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$. Seine Ableitung ist

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Du beweist das wie bei der [Ableitung von arcsin x](/derivatives/arcsin-x): Setze $\sinh y = x$, leite ab und erhalte $\cosh y\,y' = 1$, und nutze dann $\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}$. Aus diesem Ergebnis folgt $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C$.

## Typische Fehler

1. **Ein Minuszeichen hinzufügen.** $\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, nicht $-\cosh x$. Nur der gewöhnliche Kosinus bekommt ein Minus.
2. **$\sinh x$ mit $\sin x$ verwechseln.** Sie folgen einem ähnlichen Muster, sind aber verschiedene Funktionen mit verschiedenen Graphen.
3. **Die Kettenregel vergessen.** $\frac{d}{dx}\sinh(5x) = 5\cosh(5x)$.

Die passenden Gegenstücke findest du bei der [Ableitung von cosh x](/derivatives/cosh-x) und der [Ableitung von tanh x](/derivatives/tanh-x). Die Seite zu den [Hyperbelfunktionen](/functions/hyperbolic-functions) zeigt ihre Graphen und Identitäten.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von sinh x?

Die Ableitung von $\sinh x$ ist $\cosh x$.

### Was ist die Ableitung von sinh(2x)?

Mit der Kettenregel ist sie $2\cosh(2x)$.

### Warum ist die Ableitung von sinh x nicht negativ wie beim cos?

Weil $\sinh$ aus Exponentialfunktionen aufgebaut ist und nicht aus dem Einheitskreis. Die Ableitung von $\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ ist $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$, ohne Vorzeichenwechsel.

### Was ist die Ableitung des Areasinus hyperbolicus?

Die Ableitung von $\operatorname{arsinh} x$ (auch $\sinh^{-1} x$ geschrieben) ist $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.