# Ableitung von tan x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von tan x ist sec²x = 1/cos²x. Mit Beweis über die Quotientenregel, der Form 1 + tan²x, der Kettenregel für tan(u) und Beispielen wie tan(4x).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-tan-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\sec^2 x$ für $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Andere Formen:** $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'$
- **Steigung bei x = 0:** $\sec^2 0 = 1$
- **Als Integral:** $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\tan x$ ist $\sec^2 x$, und das ist auch gleich $1 + \tan^2 x$.
- Sie folgt aus der Quotientenregel für $\frac{\sin x}{\cos x}$ und der Identität $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Wegen $\sec^2 x \ge 1$ ist $\tan x$ auf jedem Intervall, auf dem er definiert ist, steigend.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'$.

Die **Ableitung von $\tan x$ ist $\sec^2 x$**. Du findest sie auch als $\frac{1}{\cos^2 x}$ oder $1 + \tan^2 x$ geschrieben. Alle drei sind dieselbe Funktion.

$$\frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x$$

## Graph von tan x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = tan x und seiner Ableitung y = sec²x'
caption: 'Ein Ast von $\tan x$ zwischen seinen Asymptoten. Die Steigung ist bei $x = 0$ am kleinsten, nämlich $1$, und wächst in der Nähe von $\pm\frac{\pi}{2}$ über alle Grenzen.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec²x (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [-1.2, 1.2]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 0, 'Steigung 1']
```

Weil $\sec^2 x$ nie kleiner als $1$ ist, steigt die Tangensfunktion zwischen zwei Asymptoten immer. Sie hat nie eine waagerechte Tangente.

## Beweis mit der Quotientenregel

Schreibe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ und nutze die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule):

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

Der trigonometrische Pythagoras macht aus dem Zähler eine $1$:

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

Teilst du den Bruch stattdessen vor dem Vereinfachen auf, erhältst du $\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$. Diese Form ist praktisch, wenn das Ergebnis nur mit $\tan x$ geschrieben werden soll.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von tan(u)

$$\frac{d}{dx}\,\tan u = \sec^2 u\cdot u'$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\tan(4x)$ | $4x$ | $4\sec^2(4x)$ |
| $\tan(x^2)$ | $x^2$ | $2x\sec^2(x^2)$ |
| $\tan\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ |
| $\tan(e^x)$ | $e^x$ | $e^x\sec^2(e^x)$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine Potenz des Tangens.** $\frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\cdot\sec^2 x$. Hier ist der Tangens die innere Funktion und das Quadrat die äußere.

**Beispiel 2: ein Produkt.** $\frac{d}{dx}(x\tan x) = \tan x + x\sec^2 x$, nach der [Produktregel](/rules/product-rule).

**Beispiel 3: eine Tangente.** Bei $x = \frac{\pi}{4}$ ist $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ und die Steigung $\sec^2\frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2$:

$$y = 1 + 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$

**Beispiel 4: zweite Ableitung.** $\frac{d}{dx}\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x$, ausgerechnet auf der Seite zur [Ableitung von sec²x](/derivatives/sec-squared-x). Sie ist für $x < 0$ negativ und für $x > 0$ positiv, also hat $\tan x$ im Ursprung einen Wendepunkt.

## So merkst du es dir

Der Tangens ist die Steigung einer Geraden durch den Ursprung mit dem Winkel $x$. Nähert sich der Winkel einem rechten Winkel, schießt diese Steigung nach oben, und $\sec^2 x$ ebenso. Bei $x = 0$ verläuft der Tangensgraph im 45-Grad-Winkel durch den Ursprung, passend zur Ableitung $1$.

## Typische Fehler

1. **$\sec x$ statt $\sec^2 x$ schreiben.** Das Quadrat ist wichtig. $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ ist ein anderes Ergebnis.
2. **$\sec^2 x\tan x$ schreiben.** Das ist die Ableitung von $\frac{1}{2}\sec^2 x$, nicht von $\tan x$.
3. **Die Formel an einer Asymptote anwenden.** $\tan x$ und seine Ableitung existieren bei $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ nicht.

Rückwärts gelesen ergibt die Formel $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$, siehe das [Integral von sec²x](/integrals/sec-squared-x). Für $\int\tan x\,dx$ siehe das [Integral von tan x](/integrals/tan-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von tan x?

Die Ableitung von $\tan x$ ist $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

### Warum ist die Ableitung von tan x gleich sec² x?

Schreibe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Die Quotientenregel liefert $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$.

### Was ist die Ableitung von tan(2x)?

Mit der Kettenregel: $2\sec^2(2x)$.

### Was ist die Ableitung von tan²x?

Sie lautet $2\tan x\sec^2 x$. Die äußere Funktion ist das Quadrat, die innere ist $\tan x$.