# Ableitung von tanh x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von tanh x ist sech² x, also 1 − tanh² x. Mit Beweis über die Quotientenregel, Beispielen zur Kettenregel, Graph und der Ableitung von artanh.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-tanh-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\operatorname{sech}^2 x = \dfrac{1}{\cosh^2 x}$
- **Gleichwertige Form:** $1 - \tanh^2 x$
- **Definition:** $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$
- **Wertebereich von tanh x:** $(-1, 1)$
- **Ableitung der Umkehrfunktion:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{1 - x^2}$ für $\lvert x\rvert < 1$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\tanh x$ ist $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.
- Man kann sie auch als $1 - \tanh^2 x$ schreiben, was bei Differentialgleichungen und neuronalen Netzen praktisch ist.
- Der Beweis nutzt die Quotientenregel und die Identität $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
- Die Steigung ist $1$ bei $x = 0$ und geht gegen $0$, während sich $\tanh x$ den Werten $\pm 1$ nähert.

Die **Ableitung von $\tanh x$ ist $\operatorname{sech}^2 x$**, was du auch als $1 - \tanh^2 x$ schreiben kannst.

$$\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$$

Dabei ist $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$, also $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.

## Beweis mit der Quotientenregel

Schreibe $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ und nutze die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule). Die [Ableitung von sinh x](/derivatives/sinh-x) ist $\cosh x$, die [Ableitung von cosh x](/derivatives/cosh-x) ist $\sinh x$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh x\cdot\cosh x - \sinh x\cdot\sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}$$

Die hyperbolische Identität $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ vereinfacht den Zähler:

$$\frac{d}{dx}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$$

Teilst du den Bruch stattdessen auf, erhältst du die andere Form: $\frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$.

## Graph von tanh x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = tanh x und seiner Ableitung y = sech² x'
caption: 'Der Tangens hyperbolicus ist eine S-förmige Kurve zwischen $-1$ und $1$. Seine Steigung ist im Ursprung $1$ und geht auf beiden Seiten gegen $0$.'
x: [-4, 4]
y: [-1.5, 1.5]
functions:
  - expr: tanh(x)
    label: y = tanh x
  - expr: 1/cosh(x)^2
    label: y = sech² x (Ableitung)
    dashed: true
  - expr: 1
    label: y = 1
    dashed: true
  - expr: -1
    label: y = −1
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'Steigung 1']
```

Die Ableitung ist immer positiv, also steigt $\tanh x$ immer. Die Werte $\pm 1$ erreicht die Funktion aber nie, das sind waagerechte Asymptoten. Vergleiche mit der [Ableitung von arctan x](/derivatives/arctan-x), einer weiteren S-Kurve mit Steigung $1$ im Ursprung, wobei sich arctan seinen Asymptoten viel langsamer nähert.

## tan und tanh im Vergleich

| Funktion | Ableitung | Ausgedrückt durch sich selbst |
| --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $1 + \tan^2 x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ | $1 - \tanh^2 x$ |

Der Vorzeichenwechsel kommt von den Identitäten: $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$, aber $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$.

## Mit der Kettenregel und Beispiele

$$\frac{d}{dx}\tanh u = \operatorname{sech}^2 u\cdot u'$$

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}\tanh(2x) = 2\operatorname{sech}^2(2x)$.

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}\tanh(x^2) = 2x\operatorname{sech}^2(x^2)$.

**Beispiel 3: ein Logarithmus.** $\frac{d}{dx}\ln(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x$. Also gilt $\int\tanh x\,dx = \ln(\cosh x) + C$.

**Beispiel 4: ein Wert.** Bei $x = 1$ ist $\tanh 1 \approx 0.7616$, die Steigung ist also $1 - 0.7616^2 \approx 0.420$.

## Wo 1 − tanh² x auftaucht

Im maschinellen Lernen ist $\tanh$ eine verbreitete Aktivierungsfunktion. Beim Training wird ihre Ableitung sehr oft gebraucht, und mit $1 - \tanh^2 x$ kann ein Programm den bereits berechneten Wert von $\tanh x$ wiederverwenden, statt $\cosh x$ auszuwerten.

## Ableitung von artanh x

Für $\lvert x\rvert < 1$ setze $\tanh y = x$. Dann gilt $(1 - \tanh^2 y)\,y' = 1$, also

$$\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}$$

## Typische Fehler

1. **$\sec^2 x$ schreiben.** Das ist die Ableitung des gewöhnlichen Tangens.
2. **$1 + \tanh^2 x$ schreiben.** Die hyperbolische Version hat ein Minuszeichen.
3. **Die innere Ableitung vergessen.** $\frac{d}{dx}\tanh(3x) = 3\operatorname{sech}^2(3x)$.

Die Seite zu den [Hyperbelfunktionen](/functions/hyperbolic-functions) behandelt auch $\operatorname{sech}$, $\operatorname{csch}$ und $\coth$.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von tanh x?

Die Ableitung von $\tanh x$ ist $\operatorname{sech}^2 x$, und das ist auch gleich $1 - \tanh^2 x$.

### Was ist die Ableitung von tanh(2x)?

Mit der Kettenregel ist sie $2\operatorname{sech}^2(2x)$.

### Warum schreibt man die Ableitung von tanh als 1 − tanh² x?

Weil $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$ gilt. Das siehst du, wenn du $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ durch $\cosh^2 x$ teilst. In dieser Form kannst du die Steigung allein aus dem Wert von $\tanh x$ berechnen.

### Was ist die Ableitung von artanh x?

Für $\lvert x\rvert < 1$ gilt $\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}$.