# Ableitung von Wurzel x (√x): Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von √x ist 1/(2√x). Mit Beweisen über Potenzregel und Grenzwert, der Kettenregel für √u, dem Problem bei x = 0 und Beispielen wie √(x² + 1).

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-wurzel-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ für $x > 0$
- **Als Potenz:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
- **Bei x = 0:** Nicht differenzierbar, die Tangente ist senkrecht
- **Als Integral:** $\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $\sqrt{x}$ ist $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, gültig für $x > 0$.
- Schreibe $\sqrt{x}$ als $x^{1/2}$ und nutze die Potenzregel: $\frac{1}{2}x^{-1/2}$.
- Für die Wurzel eines beliebigen Ausdrucks gilt $\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
- Bei $x = 0$ hat der Graph eine senkrechte Tangente, dort existiert die Ableitung also nicht.

Die **Ableitung von $\sqrt{x}$ ist $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$**, für jedes $x > 0$. Wurzeln sind einfach Potenzen mit gebrochenem Exponenten, also erledigt die Potenzregel das.

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

## Graph von √x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = √x und seiner Ableitung y = 1/(2√x)'
caption: 'Die Wurzelfunktion steigt in der Nähe von $0$ steil an und wird dann flacher. Ihre Ableitung ist in der Nähe von $0$ groß und geht gegen $0$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-0.5, 3]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 6]
  - expr: 1/(2sqrt(x))
    label: y = 1/(2√x) (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [0.03, 6]
points:
  - [4, 2, '(4, 2)']
  - [4, 0.25, 'Steigung 1/4']
```

Die Ableitung ist immer positiv, also steigt $\sqrt{x}$ immer. Sie steigt aber immer langsamer, deshalb krümmt sich die Kurve nach unten.

## Beweis mit der Potenzregel

Schreibe die Wurzel als Potenz, $\sqrt{x} = x^{1/2}$, und nutze die [Potenzregel](/rules/power-rule):

$$\frac{d}{dx}\,x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$$

Setzt du $h = 0$ ein, erhältst du $\frac{0}{0}$. Erweitere deshalb Zähler und Nenner mit $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$ (dritte binomische Formel):

$$\frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$$

Lass jetzt $h \to 0$ gehen und du erhältst $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

## Warum x = 0 ein Problem ist

Bei $x = 0$ würde die Formel durch null teilen. Der Differenzenquotient ist dort $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$, und der wächst für $h \to 0^+$ über alle Grenzen. Die Tangente im Ursprung ist senkrecht, also ist $\sqrt{x}$ bei $0$ nicht [differenzierbar](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability).

## Mit der Kettenregel: Ableitung von √u

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{3x}$ | $3x$ | $\frac{3}{2\sqrt{3x}}$ |
| $\sqrt{x^2 + 1}$ | $x^2 + 1$ | $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ |
| $\sqrt{1 - x^2}$ | $1 - x^2$ | $\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\sqrt{\sin x}$ | $\sin x$ | $\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: erst Potenzen zusammenfassen.** Leite $x\sqrt{x}$ ab. Wegen $x\sqrt{x} = x^{3/2}$ gilt:

$$\frac{d}{dx}\,x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$$

**Beispiel 2: ein Kehrwert.** Es gilt $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, die Ableitung ist also $-\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

**Beispiel 3: eine Tangente.** Bei $x = 9$ ist $\sqrt{9} = 3$ und die Steigung $\frac{1}{6}$. Die Tangente lautet $y = 3 + \frac{1}{6}(x - 9)$. Mit dieser Geraden schätzt man $\sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} \approx 3.167$, eine klassische [lineare Approximation](/blog/linear-approximation). Der wahre Wert ist ungefähr $3.162$.

## Typische Fehler

1. **Die 2 vergessen.** Das Ergebnis ist $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, nicht $\frac{1}{\sqrt{x}}$.
2. **Den Exponenten falsch verringern.** $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$, nicht $-\frac{3}{2}$ oder $\frac{3}{2}$.
3. **$u'$ weglassen.** $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$ braucht den Faktor $2x$ im Zähler.
4. **$x = 0$ einsetzen.** Die Formel hat bei $0$ keinen Wert. Sag lieber, dass die Ableitung dort nicht existiert, statt $\frac{1}{0}$ zu schreiben.

Die Gegenrichtung steht auf der Seite zum [Integral von √x](/integrals/sqrt-x). Die Seite zur [Wurzelfunktion](/functions/square-root-function) behandelt ihren Graphen und Definitionsbereich.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung der Wurzel von x?

Sie lautet $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Mit $\sqrt{x} = x^{1/2}$ liefert die Potenzregel $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

### Ist √x bei 0 differenzierbar?

Nein. Die Funktion ist bei $0$ definiert, aber $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ wächst für $x \to 0^+$ über alle Grenzen. Der Graph hat dort eine senkrechte Tangente.

### Was ist die Ableitung von 2√x?

Sie lautet $2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

### Was ist die Ableitung von √(2x)?

Mit der Kettenregel: $\frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.