# Ableitung von xˣ: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von xˣ ist xˣ(ln x + 1). Lerne zwei Methoden, logarithmisches Differenzieren und die Umformung zu e^(x ln x), dazu Graph und Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-x-hoch-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1) $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $x^x(\ln x + 1)$ für $x > 0$
- **Entscheidende Umformung:** $x^x = e^{x\ln x}$
- **Methode:** logarithmisches Differenzieren
- **Minimum:** $x = \frac{1}{e}$, Wert $e^{-1/e} \approx 0.692$
- **Allgemeine Form:** $\dfrac{d}{dx}f^g = f^g\left(g'\ln f + \dfrac{gf'}{f}\right)$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $x^x$ ist $x^x(\ln x + 1)$.
- Weder die Potenzregel noch die Regel für Exponentialfunktionen funktioniert, weil sich Basis und Exponent beide ändern.
- Wende $\ln$ auf beide Seiten an (logarithmisches Differenzieren) oder schreibe $x^x = e^{x\ln x}$ und nutze die Kettenregel.
- Der Graph hat ein Minimum bei $x = \frac{1}{e}$, wo $\ln x + 1 = 0$ ist.

Die **Ableitung von $x^x$ ist $x^x(\ln x + 1)$**. Sie ist das klassische Beispiel für eine Funktion, die [logarithmisches Differenzieren](/rules/logarithmic-differentiation) braucht.

$$\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1), \qquad x > 0$$

## Warum die üblichen Regeln versagen

| Funktion | Basis | Exponent | Regel | Ableitung |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^3$ | variabel | konstant | Potenzregel | $3x^2$ |
| $3^x$ | konstant | variabel | Regel für Exponentialfunktionen | $3^x\ln 3$ |
| $x^x$ | variabel | variabel | keine allein | $x^x(\ln x + 1)$ |

Mit der Potenzregel erhältst du $x\cdot x^{x-1} = x^x$, mit der Regel für Exponentialfunktionen $x^x\ln x$. Beides ist falsch. Interessanterweise ist das richtige Ergebnis ihre Summe.

## Methode 1: logarithmisches Differenzieren

Sei $y = x^x$. Logarithmiere beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus, um den Exponenten nach unten zu holen:

$$\ln y = x\ln x$$

Leite beide Seiten ab. Die linke Seite braucht [implizites Differenzieren](/rules/implicit-differentiation), die rechte die Produktregel (es ist die [Ableitung von x ln x](/derivatives/x-ln-x)):

$$\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx} = \ln x + 1$$

Multipliziere mit $y = x^x$:

$$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

## Methode 2: Umschreiben zur Basis e

Wegen $x = e^{\ln x}$ gilt $x^x = e^{x\ln x}$. Nutze jetzt die [Kettenregel](/rules/chain-rule) mit der äußeren Funktion $e^u$:

$$\frac{d}{dx}e^{x\ln x} = e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x) = x^x(\ln x + 1)$$

Beide Methoden beruhen eigentlich auf derselben Idee. Nimm die, die dir natürlicher vorkommt.

## Graph von xˣ und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = xˣ und seiner Ableitung'
caption: 'Die Kurve sinkt bei $x = \frac{1}{e}$ auf ihren kleinsten Wert von etwa $0.692$ und wächst danach sehr schnell. Bei $x = 1$ sind Funktionswert und Steigung beide $1$.'
x: [-0.2, 2.2]
y: [-1.5, 6]
functions:
  - expr: x^x
    label: y = xˣ
    domain: [0.01, 2.1]
  - expr: x^x*(ln(x) + 1)
    label: y = xˣ(ln x + 1) (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [0.08, 1.75]
points:
  - [0.3679, 0.6922, 'Minimum (1/e; 0,692)']
  - [1, 1, '(1, 1), Steigung 1']
```

Da $x^x > 0$ ist, hängt das Vorzeichen der Ableitung nur von $\ln x + 1$ ab. Es ist negativ für $x < \frac{1}{e}$ und danach positiv, das Minimum liegt also bei $x = \frac{1}{e}$. Sein Wert ist $\left(e^{-1}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Steigung bei x = 2.** $\frac{d}{dx}x^x\big|_{x = 2} = 2^2(\ln 2 + 1) = 4(1.693) \approx 6.77$.

**Beispiel 2: x hoch sin x.** Sei $y = x^{\sin x}$. Dann gilt $\ln y = \sin x\ln x$, und

$$\frac{y'}{y} = \cos x\ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$

**Beispiel 3: x hoch 1/x.** Sei $y = x^{1/x}$. Dann gilt $\ln y = \frac{\ln x}{x}$, und die Quotientenregel liefert

$$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{1/x}\cdot\frac{1 - \ln x}{x^2}$$

Das ist null bei $x = e$, also ist $x^{1/x}$ bei $x = e$ am größten, mit dem Wert $e^{1/e} \approx 1.445$.

**Beispiel 4: x hoch x Quadrat.** Für $y = x^{x^2}$ ist $\ln y = x^2\ln x$, also $y' = x^{x^2}(2x\ln x + x)$.

## Typische Fehler

1. **Potenzregel:** $x\cdot x^{x-1} = x^x$. Falsch, weil der Exponent nicht konstant ist.
2. **Regel für Exponentialfunktionen:** $x^x\ln x$. Falsch, weil die Basis nicht konstant ist.
3. **Am Ende des logarithmischen Differenzierens vergessen, mit $y$ zu multiplizieren**, sodass nur $\ln x + 1$ übrig bleibt.

Mehr zu dieser Methode findest du bei den [Aufgaben zum impliziten Differenzieren](/practice-problems/implicit-differentiation) und der [Ableitung von 2ˣ und aˣ](/derivatives/2-to-the-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von x^x?

Die Ableitung von $x^x$ ist $x^x(\ln x + 1)$, für $x > 0$.

### Warum kann ich bei x^x nicht die Potenzregel verwenden?

Die Potenzregel braucht einen konstanten Exponenten, die Regel für Exponentialfunktionen eine konstante Basis. Bei $x^x$ ändern sich beide, also musst du logarithmisch differenzieren oder die Funktion als $e^{x\ln x}$ schreiben.

### Was ist die Ableitung von x^(sin x)?

Mit logarithmischem Differenzieren: $x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$.

### Wo liegt das Minimum von x^x?

Bei $x = \frac{1}{e} \approx 0.368$, wo die Ableitung null ist. Der minimale Wert ist $\left(\frac{1}{e}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692$.