# Ableitung von x ln x: Formel, Schritte und Beispiele

> Die Ableitung von x ln x ist ln x + 1. Mit der Produktregel Schritt für Schritt, dem Minimum bei x = 1/e, der zweiten Ableitung, Graph und Beispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-x-mal-ln-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $\ln x + 1$ für $x > 0$
- **Zweite Ableitung:** $\dfrac{1}{x}$
- **Minimum:** $x = \frac{1}{e}$, Wert $-\frac{1}{e} \approx -0.368$
- **Grenzwert bei 0:** $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$
- **Integral:** $\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $x\ln x$ ist $\ln x + 1$, berechnet mit der Produktregel.
- Aus $\ln x + 1 = 0$ folgt ein Minimum bei $x = \frac{1}{e}$ mit dem Wert $-\frac{1}{e}$.
- Die zweite Ableitung ist $\frac{1}{x} > 0$, der Graph ist also auf dem ganzen Definitionsbereich linksgekrümmt.
- Rückwärts gelesen zeigt das Ergebnis $\int(\ln x + 1)\,dx = x\ln x + C$, der entscheidende Schritt beim Integrieren von $\ln x$.

Die **Ableitung von $x\ln x$ ist $\ln x + 1$**. Es ist ein Produkt, also erledigt die [Produktregel](/rules/product-rule) die ganze Arbeit.

$$\frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1, \qquad x > 0$$

## Schritt für Schritt mit der Produktregel

Die Produktregel besagt $(fg)' = f'g + fg'$. Nimm $f = x$ und $g = \ln x$:

1. $f' = 1$.
2. $g' = \frac{1}{x}$, aus der [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x).
3. Zusammensetzen: $1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Das $x$ vorne kürzt sich mit dem $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus, übrig bleibt ein sauberes Ergebnis.

## Graph von x ln x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = x ln x und seiner Ableitung y = ln x + 1'
caption: 'Die Funktion sinkt bis zu einem Minimum von $-\frac{1}{e}$ bei $x = \frac{1}{e}$, genau dort, wo ihre Ableitung die Null durchläuft.'
x: [-0.3, 3]
y: [-2, 3.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
    domain: [0.005, 3]
  - expr: ln(x) + 1
    label: y = ln x + 1 (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [0.15, 3]
points:
  - [0.3679, -0.3679, 'Minimum (1/e, −1/e)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

## Das Minimum bestimmen

Setze die Ableitung gleich null:

$$\ln x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Für $x < \frac{1}{e}$ ist die Ableitung negativ, für $x > \frac{1}{e}$ positiv, also liegt hier ein Minimum. Sein Wert ist

$$\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = \frac{1}{e}\cdot(-1) = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$

Die zweite Ableitung bestätigt das: $\frac{d^2}{dx^2}x\ln x = \frac{1}{x}$ ist für jedes $x > 0$ positiv, die Kurve ist also überall linksgekrümmt.

## Was in der Nähe von x = 0 passiert

Der Graph scheint im Ursprung zu beginnen, obwohl $x\ln x$ bei $0$ nicht definiert ist. Das liegt an $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$. Schreibe den Ausdruck als $\frac{\ln x}{1/x}$ und wende die [Regel von L'Hospital](/rules/lhopitals-rule) an:

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+}(-x) = 0$$

Die Steigung $\ln x + 1$ geht dagegen gegen $-\infty$, die Kurve verlässt den Ursprung also fast senkrecht.

## Verwandte Beispiele

**Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$. Das zeigt, dass $x\ln x - x$ eine Stammfunktion von $\ln x$ ist, siehe das [Integral von ln x](/integrals/ln-x).

**Beispiel 2.** $\frac{d}{dx}x^2\ln x = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)$.

**Beispiel 3.** $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, nach der [Quotientenregel](/rules/quotient-rule). Das Maximum liegt bei $x = e$.

**Beispiel 4.** $\frac{d}{dx}x\ln(3x) = \ln(3x) + 1$, denn auch $\frac{d}{dx}\ln(3x) = \frac{1}{x}$.

## Typische Fehler

1. **Die Ableitungen multiplizieren.** $1\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ ist nicht die Produktregel. Du brauchst beide Summanden.
2. **Den Definitionsbereich vergessen.** $x\ln x$ existiert nur für $x > 0$, also suchst du das Minimum nur dort.
3. **Mit $x^x$ verwechseln.** $\frac{d}{dx}x^x = x^x(\ln x + 1)$. Der Faktor $\ln x + 1$ taucht auf, weil $x^x = e^{x\ln x}$ ist, siehe die [Ableitung von xˣ](/derivatives/x-to-the-x).

Für die Gegenrichtung nutzt das [Integral von x ln x](/integrals/x-ln-x) die partielle Integration. Weitere Übungen zur Produktregel findest du bei den [Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel](/practice-problems/product-and-quotient-rules).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von x ln x?

Die Ableitung von $x\ln x$ ist $\ln x + 1$.

### Was ist die zweite Ableitung von x ln x?

Leite $\ln x + 1$ ab und du erhältst $\frac{1}{x}$.

### Wo liegt das Minimum von x ln x?

Bei $x = \frac{1}{e} \approx 0.368$, wo $\ln x + 1 = 0$ ist. Der minimale Wert ist $\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$.

### Was ist die Ableitung von x ln x − x?

Sie lautet $(\ln x + 1) - 1 = \ln x$. Deshalb gilt $\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$.