# Ableitung von x²: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von x² ist 2x. Mit Beweis über den Differenzenquotienten, der Kettenregel für u², einem Graphen, Tangenten und Rechenbeispielen wie (3x + 1)².

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $2x$ für jedes reelle $x$
- **Mit Kettenregel:** $\dfrac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'$
- **Zweite Ableitung:** $\dfrac{d^2}{dx^2}\,x^2 = 2$
- **Steigung bei x = 0:** $0$, der Scheitelpunkt der Parabel
- **Als Integral:** $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $x^2$ ist $2x$: Hol die 2 nach vorne und verringere den Exponenten auf 1.
- Die Steigung von $y = x^2$ an der Stelle $x = a$ ist $2a$, also links negativ, im Scheitelpunkt null und rechts positiv.
- Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'$. Vergiss das $u'$ nicht.
- Verwechsle $x^2$ nicht mit $2^x$: $\frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2$.

Die **Ableitung von $x^2$ ist $2x$**. Meist ist das die erste Ableitung, die man von Hand berechnet, und sie zeigt die ganze Idee der Ableitung in einer Zeile Algebra.

$$\frac{d}{dx}\,x^2 = 2x$$

## Graph von x² und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = x² und seiner Ableitung y = 2x'
caption: 'Wo die Parabel fällt, ist $2x$ negativ. Im Scheitelpunkt ist die Steigung $0$. Wo sie steigt, ist $2x$ positiv.'
x: [-3, 3]
y: [-5, 7]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 2x
    label: y = 2x (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'Scheitelpunkt, Steigung 0']
  - [1, 1, '(1, 1), Steigung 2']
```

Die Ableitung wächst mit $x$, die Parabel wird also immer steiler, je weiter du dich vom Scheitelpunkt entfernst. Genau so sieht Linkskrümmung aus.

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

Beginne mit

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$$

Löse das Quadrat auf: $(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$. Die Summanden $x^2$ heben sich auf:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\,(2x + h) = 2x$$

Du erhältst das Ergebnis auch mit der [Potenzregel](/rules/power-rule) oder mit der [Produktregel](/rules/product-rule) für $x \cdot x$: $1\cdot x + x \cdot 1 = 2x$.

## Mit der Kettenregel: Ableitung von u²

Wird etwas anderes als $x$ quadriert, nimmst du die [Kettenregel](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\,u^2 = 2u \cdot u'$$

| Funktion | Innere Funktion $u$ | Ableitung $2u\,u'$ |
| --- | --- | --- |
| $(3x + 1)^2$ | $3x + 1$ | $6(3x + 1)$ |
| $(x^2 + 5)^2$ | $x^2 + 5$ | $4x(x^2 + 5)$ |
| $\sin^2 x$ | $\sin x$ | $2\sin x\cos x$ |
| $(\ln x)^2$ | $\ln x$ | $\frac{2\ln x}{x}$ |

Die dritte Zeile ist auf der Seite zur [Ableitung von sin²x](/derivatives/sin-squared-x) vollständig ausgerechnet.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Polynom.** Leite $f(x) = 4x^2 - 3x + 8$ ab:

$$f'(x) = 8x - 3$$

**Beispiel 2: eine Tangente.** Bestimme die Tangente an $y = x^2$ bei $x = 3$. Der Punkt ist $(3, 9)$, die Steigung $2(3) = 6$:

$$y - 9 = 6(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = 6x - 9$$

**Beispiel 3: Wo ist die Steigung 5?** Löse $2x = 5$ und du erhältst $x = \frac{5}{2}$. Der Punkt auf der Parabel ist $\left(\frac{5}{2}, \frac{25}{4}\right)$.

**Beispiel 4: zweite Ableitung.** $\frac{d}{dx}(2x) = 2$, also $\frac{d^2}{dx^2}x^2 = 2$. Eine positive, konstante zweite Ableitung bedeutet, dass die Parabel überall nach oben gekrümmt ist.

## Typische Fehler

1. **$2x^2$ schreiben.** Der Exponent muss um eins sinken: $2x^1 = 2x$.
2. **$x^2$ und $2^x$ verwechseln.** Sie sehen ähnlich aus, aber $2^x$ ist eine Exponentialfunktion. Ihre Ableitung ist $2^x \ln 2$, siehe die [Ableitung von 2ˣ](/derivatives/2-to-the-x).
3. **$u'$ weglassen.** $\frac{d}{dx}(5x - 2)^2 = 10(5x - 2)$, nicht $2(5x - 2)$.
4. **Die Ableitung quadrieren.** $\frac{d}{dx}(x^2)$ ist nicht $\left(\frac{d}{dx}x\right)^2 = 1$.

Rückwärts steht $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$ auf der Seite zum [Integral von x²](/integrals/x-squared). Mehr Übung bieten die [Aufgaben zur Potenzregel](/practice-problems/power-rule).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von x²?

Die Ableitung von $x^2$ ist $2x$. Nach der Potenzregel gilt $\frac{d}{dx}x^2 = 2x^{2-1} = 2x$.

### Wie bestimmt man die Ableitung von x² mit dem Differenzenquotienten?

Forme um: $\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$. Für $h \to 0$ geht das gegen $2x$.

### Was ist die Ableitung von 3x²?

Sie ist $6x$. Multipliziere die Ableitung von $x^2$ mit der Konstanten: $3 \cdot 2x = 6x$.

### Was ist die Ableitung von (2x + 1)²?

Mit der Kettenregel ist sie $2(2x + 1) \cdot 2 = 4(2x + 1) = 8x + 4$. Multiplizierst du zuerst zu $4x^2 + 4x + 1$ aus, erhältst du dasselbe.