# Ableitung von x: Formel, Beweis und Beispiele

> Die Ableitung von x ist 1. Mit Begründung über den Differenzenquotienten und die Potenzregel sowie den Ableitungen von 5x, ax + b und x nach anderen Variablen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-von-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x = 1 $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $1$ für jedes reelle $x$
- **Vielfaches von x:** $\dfrac{d}{dx}(ax) = a$
- **Lineare Funktion:** $\dfrac{d}{dx}(ax + b) = a$
- **Mit der Potenzregel:** $x = x^1$, die Ableitung ist also $1 \cdot x^0 = 1$
- **Als Integral:** $\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $x$ ist $1$, denn die Gerade $y = x$ hat überall die Steigung $1$.
- Jedes Vielfache funktioniert genauso: $\frac{d}{dx}(ax) = a$, also $\frac{d}{dx}(5x) = 5$.
- Addierte Konstanten ändern die Steigung nicht: $\frac{d}{dx}(ax + b) = a$.
- Leitest du nach einer anderen Variablen ab, kann $x$ eine Konstante sein: $\frac{d}{dt}\,x = 0$, wenn $x$ nicht von $t$ abhängt.

Die **Ableitung von $x$ ist $1$**. Die Funktion $y = x$ ist eine Gerade mit der Steigung $1$, und die Ableitung einer Geraden ist einfach ihre Steigung.

$$\frac{d}{dx}\,x = 1$$

## Graph von x und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = x und seiner Ableitung y = 1'
caption: 'Die Gerade $y = x$ hat überall dieselbe Steigung, ihre Ableitung ist also die waagerechte Gerade $y = 1$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: x
    label: y = x
  - expr: 1
    label: y = 1 (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [2, 2, '(2, 2)']
  - [2, 1, 'Steigung 1']
```

Weil sich die Steigung nie ändert, ist die Ableitung eine Konstante. Nimm zwei beliebige Punkte auf der Geraden: Der Höhenunterschied ist immer gleich dem waagerechten Abstand.

## Beweis mit dem Differenzenquotienten

Nach der [Definition der Ableitung als Grenzwert](/blog/limit-definition-of-the-derivative) gilt

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Mit $f(x) = x$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$$

Das $h$ kürzt sich weg, bevor du überhaupt den Grenzwert bildest, es gibt also nichts Kniffliges aufzulösen.

## Beweis mit der Potenzregel

Schreibe $x$ als $x^1$. Nach der [Potenzregel](/rules/power-rule) holst du den Exponenten nach vorne und verringerst ihn um eins:

$$\frac{d}{dx}\,x^1 = 1 \cdot x^0 = 1$$

Dabei wird $x^0 = 1$ verwendet, was für jedes $x \ne 0$ stimmt, und der Beweis über den Grenzwert deckt auch $x = 0$ ab.

## Vielfache und lineare Funktionen

Mit der [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule) und der [Konstantenregel](/rules/constant-rule) ist jede lineare Funktion leicht:

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $5x$ | $5$ |
| $-x$ | $-1$ |
| $\frac{x}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
| $3x - 7$ | $3$ |
| $\pi x + e$ | $\pi$ |

Die Ableitung einer Geraden $y = mx + b$ ist immer $m$, ihre Steigung. Der y-Achsenabschnitt $b$ verschiebt die Gerade nur nach oben oder unten und ändert nichts an ihrer Steilheit. Warum $b$ wegfällt, erklärt die [Ableitung einer Konstanten](/derivatives/constant).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine Summe.** Leite $f(x) = x^2 + 4x - 9$ ab:

$$f'(x) = 2x + 4$$

Der Summand $4x$ liefert $4$, der Summand $-9$ liefert $0$. Für $x^2$ nimmst du die [Ableitung von x²](/derivatives/x-squared).

**Beispiel 2: eine Probe mit der Produktregel.** Schreibe $x^2 = x \cdot x$ und nutze die [Produktregel](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(x \cdot x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$

Das stimmt mit der Potenzregel überein, eine gute Plausibilitätsprüfung.

**Beispiel 3: eine andere Variable.** Bei $\frac{d}{dt}(xt)$, wobei $x$ nicht von $t$ abhängt, behandelst du $x$ als Konstante: Das Ergebnis ist $x$.

## Typische Fehler

1. **$0$ als Antwort.** Nur Konstanten haben die Ableitung $0$. Die Funktion $x$ ändert sich, ihre Ableitung ist also $1$.
2. **$x$ als Antwort.** Die Ableitung von $x$ ist nicht $x$. Das gilt für $e^x$, nicht für $x$.
3. **Den konstanten Summanden behalten.** $\frac{d}{dx}(3x + 7) = 3$, nicht $3 + 7$ oder $10$.

Die umgekehrte Frage, $\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$, beantwortet die Seite zum [Integral von x](/integrals/x). Zum Üben eignen sich die [Aufgaben zur Potenzregel](/practice-problems/power-rule).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von x?

Die Ableitung von $x$ nach $x$ ist $1$. Der Graph $y = x$ ist eine Gerade, die pro Einheit nach rechts um 1 Einheit steigt.

### Was ist die Ableitung von 2x?

Sie ist $2$. Nach der Faktorregel gilt $\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}x = 2 \cdot 1 = 2$.

### Warum ist die Ableitung von x nicht 0?

Eine Ableitung von $0$ bedeutet, dass die Funktion waagerecht verläuft. Die Gerade $y = x$ ist nicht waagerecht: Sie steigt mit der Steigung $1$. Nur Konstanten wie $7$ oder $\pi$ haben die Ableitung $0$.

### Was ist die Ableitung von x nach y?

Wenn $x$ und $y$ unabhängig sind, gilt $\frac{d}{dy}\,x = 0$. Hängt $x$ von $y$ ab, lautet das Ergebnis $\frac{dx}{dy}$, und das ist $\frac{1}{dy/dx}$, falls $dy/dx \ne 0$.