# Ableitung von xeˣ: Formel, Schritte und Beispiele

> Die Ableitung von xeˣ ist eˣ(x + 1). Mit den Schritten der Produktregel, dem Minimum bei x = −1, dem Muster der n-ten Ableitung, Graph und Rechenbeispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ableitungen/ableitung-x-mal-e-hoch-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,xe^x = e^x(x + 1) $$

## Auf einen Blick

- **Ableitung:** $e^x(x + 1)$
- **Zweite Ableitung:** $e^x(x + 2)$
- **n-te Ableitung:** $e^x(x + n)$
- **Minimum:** $x = -1$, Wert $-\frac{1}{e} \approx -0.368$
- **Integral:** $\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung von $xe^x$ ist nach der Produktregel $e^x + xe^x = e^x(x + 1)$.
- Jede weitere Ableitung erhöht die Zahl in der Klammer um $1$: Die $n$-te Ableitung ist $e^x(x + n)$.
- Die Funktion hat ein Minimum bei $x = -1$ und einen Wendepunkt bei $x = -2$.
- Klammerst du $e^x$ aus, lässt sich die Ableitung leicht gleich null setzen, denn $e^x$ ist nie $0$.

Die **Ableitung von $xe^x$ ist $e^x(x + 1)$**. Es ist ein Produkt aus $x$ und $e^x$, also ist die [Produktregel](/rules/product-rule) das richtige Werkzeug.

$$\frac{d}{dx}\,xe^x = e^x + xe^x = e^x(x + 1)$$

## Schritt für Schritt mit der Produktregel

Mit $f = x$ und $g = e^x$ liefert die Produktregel $(fg)' = f'g + fg'$:

1. $f' = 1$.
2. $g' = e^x$, denn die [Ableitung von eˣ](/derivatives/e-to-the-x) ist die Funktion selbst.
3. Zusammensetzen: $1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x + xe^x$.
4. $e^x$ ausklammern: $e^x(x + 1)$.

Die ausgeklammerte Form ist nützlicher. Weil $e^x$ nie null ist, ist die Ableitung nur dort null, wo $x + 1 = 0$ gilt.

## Graph von xeˣ und seiner Ableitung

```graph
title: 'Graph von y = xeˣ und seiner Ableitung y = eˣ(x + 1)'
caption: 'Die Funktion hat ihren tiefsten Punkt bei $x = -1$, wo die Ableitung die Null durchläuft. Nach links wird sie flach und nähert sich $0$, nach rechts schießt sie nach oben.'
x: [-6, 2]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: x*exp(x)
    label: y = xeˣ
    domain: [-6, 1.2]
  - expr: (x+1)*exp(x)
    label: y = eˣ(x + 1) (Ableitung)
    dashed: true
    domain: [-6, 0.75]
points:
  - [-1, -0.3679, 'Minimum (−1, −1/e)']
  - [-2, -0.2707, 'Wendepunkt (−2, −2/e²)']
```

## Minimum und Wendepunkt

**Minimum.** Die Ableitung $e^x(x + 1)$ ist für $x < -1$ negativ und für $x > -1$ positiv. Also liegt bei $x = -1$ ein Minimum mit dem Wert

$$(-1)e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$

**Wendepunkt.** Die zweite Ableitung ist

$$\frac{d}{dx}\,e^x(x + 1) = e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$$

Sie wechselt bei $x = -2$ das Vorzeichen, der Graph geht dort also von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt über. Der Punkt ist $\left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2, -0.271)$.

## Das Muster der n-ten Ableitung

Jedes Mal, wenn du $e^x(x + k)$ ableitest, erhältst du $e^x(x + k) + e^x = e^x(x + k + 1)$. Also gilt:

| Ableitung | Ergebnis |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $e^x(x + 1)$ |
| $f''(x)$ | $e^x(x + 2)$ |
| $f'''(x)$ | $e^x(x + 3)$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $e^x(x + n)$ |

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: die abklingende Version.** Für $f(x) = xe^{-x}$ brauchst du die Kettenregel bei $e^{-x}$ (siehe [e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x)):

$$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$

Jetzt ist der kritische Punkt ein Maximum bei $x = 1$.

**Beispiel 2: eine höhere Potenz.** Für $g(x) = x^2e^x$ gilt

$$g'(x) = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(x + 2)$$

Die kritischen Punkte liegen bei $x = 0$ und $x = -2$.

**Beispiel 3: ein gestreckter Exponent.** Für $h(x) = xe^{3x}$ gilt

$$h'(x) = e^{3x} + 3xe^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$$

**Beispiel 4: eine Tangente.** Bei $x = 0$ ist $xe^x = 0$ und die Steigung $e^0(0 + 1) = 1$. Die Tangente lautet $y = x$.

## Typische Fehler

1. **Die beiden Ableitungen multiplizieren.** $1\cdot e^x = e^x$ ist nicht die Produktregel, dabei fehlt der Summand $xe^x$.
2. **$xe^x$ als Ergebnis schreiben.** Die Ableitung von $e^x$ ist zwar $e^x$, aber das Produkt mit $x$ braucht trotzdem die Produktregel.
3. **Nicht ausklammern.** $e^x + xe^x$ stehen zu lassen ist richtig, aber ausgeklammert findest du die kritischen Punkte viel leichter.

Rückwärts gilt mit partieller Integration $\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C$, siehe das [Integral von xeˣ](/integrals/x-e-to-the-x). Probe: $\frac{d}{dx}e^x(x - 1) = e^x(x - 1) + e^x = xe^x$. Üben kannst du mit den [Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel](/practice-problems/product-and-quotient-rules).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von xe^x?

Die Ableitung von $xe^x$ ist $e^x + xe^x$, ausgeklammert $e^x(x + 1)$.

### Was ist die zweite Ableitung von xe^x?

Leite $e^x(x + 1)$ mit der Produktregel ab: $e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$.

### Was ist die n-te Ableitung von xe^x?

Sie lautet $e^x(x + n)$. Jede Ableitung fügt einen weiteren Summanden $e^x$ hinzu.

### Was ist die Ableitung von xe^(−x)?

Nach der Produktregel: $e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.