# AP Calc Einheit 1: Grenzwerte und Stetigkeit (AB und BC)

> Wiederholung zu AP Calculus Einheit 1 für AB und BC: Grenzwerte aus Graphen, Tabellen und Termen, Sandwich-Satz, Stetigkeit, Asymptoten und Zwischenwertsatz.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ap-calculus/einheit-1-grenzwerte-und-stetigkeit
Aktualisiert: 2026-11-06

## Auf einen Blick

- **Gewichtung AB:** 10–15%
- **Gewichtung BC:** 5–10%
- **Kernideen:** Grenzwerte, Stetigkeit, Asymptoten, der Zwischenwertsatz
- **Nur in BC:** Nichts, AB und BC behandeln in Einheit 1 dieselben Themen
- **Kommt vor:** Einheit 2, der Definition der Ableitung
- **Hier üben:** [Analysis 1: Grenzwerte](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit)

## Das Wichtigste

- Einheit 1 macht 10 bis 15 Prozent der AB-Prüfung und 5 bis 10 Prozent der BC-Prüfung aus, mit denselben Themen in beiden.
- Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht den Wert, den sie annimmt: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$, obwohl die Funktion bei 3 nicht definiert ist.
- Eine Funktion ist an der Stelle $c$ stetig, wenn $f(c)$ existiert, der Grenzwert existiert und $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ gilt.
- Der Zwischenwertsatz garantiert, dass jeder Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ angenommen wird, aber nur, wenn $f$ auf $[a, b]$ stetig ist.

**AP Calculus Einheit 1, Grenzwerte und Stetigkeit** (Limits and Continuity), ist das Fundament des ganzen Kurses. Ein Grenzwert fragt, auf welchen Wert eine Funktion zuläuft, wenn $x$ sich einer Zahl nähert. Jede spätere Idee, von der Ableitung über das Integral bis zu den Reihen, wird mit einem Grenzwert definiert. Wer Einheit 1 sicher beherrscht, hat es danach überall leichter.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Gewichtung in der Prüfung | 10–15% | 5–10% |
| Zusätzliche Themen | keine | keine |

## Was Einheit 1 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

| Thema | Was du lernst | Üben |
| --- | --- | --- |
| Grenzwerte und Schreibweise | Was $\lim_{x \to c} f(x) = L$ bedeutet, und einseitige Grenzwerte | [Was ist ein Grenzwert?](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) |
| Grenzwerte aus Graphen und Tabellen | Einen Grenzwert ablesen, wenn kein Term gegeben ist | [Was ist ein Grenzwert?](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) |
| Grenzwerte mit Termen | Direktes Einsetzen und Grenzwertsätze | [Direktes Einsetzen](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution) |
| Termumformungen | Faktorisieren und Erweitern, um $\frac{0}{0}$ aufzulösen | [Faktorisieren bei 0/0](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) |
| Sandwich-Satz | Eine Funktion zwischen zwei anderen einschließen | [Sandwich-Satz](/learn/calculus-1/limits/squeeze-theorem) |
| Arten von Unstetigkeiten | Hebbare Unstetigkeiten, Sprungstellen und Polstellen | [Stetigkeit](/learn/calculus-1/limits/continuity) |
| Stetigkeit | In einem Punkt, auf einem Intervall und das Beheben von Unstetigkeiten | [Stetigkeit](/learn/calculus-1/limits/continuity) |
| Unendliche Grenzwerte | Senkrechte Asymptoten und einseitiges Verhalten | [Einseitige und unendliche Grenzwerte](/learn/calculus-1/limits/one-sided-and-infinite-limits) |
| Grenzwerte im Unendlichen | Waagerechte Asymptoten und Verhalten im Unendlichen | [Grenzwerte im Unendlichen](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) |
| Zwischenwertsatz | Zeigen, dass ein Wert oder eine Nullstelle existiert | [Zwischenwertsatz](/learn/calculus-1/limits/intermediate-value-theorem) |

## Die wichtigsten Ideen

**Ein Grenzwert handelt von Werten in der Nähe.** Die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ ist bei $x = 3$ nicht definiert, stimmt aber für jedes andere $x$ mit $x + 3$ überein. Wenn sich $x$ also der 3 nähert, nähert sich $f(x)$ der 6. Der Graph ist eine Gerade mit einem Loch.

```graph
title: 'y = (x² − 9)/(x − 3) hat bei x = 3 eine Lücke'
caption: 'Die Funktion stimmt überall außer bei $x = 3$ mit $x + 3$ überein, also gilt $\lim_{x \to 3} f(x) = 6$, obwohl $f(3)$ nicht existiert.'
x: [-1, 6]
y: [-1, 10]
functions:
  - expr: x + 3
    label: y = (x² − 9)/(x − 3)
points:
  - [3, 6, 'Lücke bei (3, 6)']
```

**Ein Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen.** Sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert verschieden, existiert der beidseitige Grenzwert nicht. Das ist in der Prüfung der häufigste Grund, warum ein Grenzwert nicht existiert.

**Stetigkeit hat drei Bedingungen.** $f$ ist an der Stelle $x = c$ stetig, wenn $f(c)$ definiert ist, $\lim_{x \to c} f(x)$ existiert und beide gleich sind. Nenne in Freitextaufgaben alle drei. Eine hebbare Unstetigkeit (ein Loch) lässt sich durch Umdefinieren eines Punktes beheben, Sprungstellen und Polstellen nicht.

**Asymptoten sind Grenzwerte.** Eine senkrechte Asymptote bei $x = a$ bedeutet $f(x) \to \pm\infty$ für $x \to a$. Eine waagerechte Asymptote $y = L$ bedeutet $f(x) \to L$ für $x \to \pm\infty$. Bei gebrochenrationalen Funktionen vergleichst du die Grade von Zähler und Nenner.

**Der Zwischenwertsatz braucht Stetigkeit.** Ist $f$ auf $[a, b]$ stetig und liegt $k$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$, dann gilt $f(c) = k$ für ein $c$ in $(a, b)$. Die vollständige Aussage findest du auf der Seite zum [Zwischenwertsatz](/theorems/intermediate-value-theorem), dazu den [Sandwich-Satz](/theorems/squeeze-theorem) und die [Grenzwertsätze](/rules/limit-laws).

## Beispielaufgaben

**1. Ein Grenzwert der Form $\frac{0}{0}$ (ohne Taschenrechner).** Direktes Einsetzen liefert $\frac{0}{0}$, also faktorisiere:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$$

**2. Ein Grenzwert im Unendlichen.** Zähler und Nenner haben beide Grad 2, also ist der Grenzwert der Quotient der Leitkoeffizienten:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{5x^2 - 2x} = \frac{3}{5}$$

**3. Eine Funktion stetig machen.** Sei $f(x) = kx + 1$ für $x < 2$ und $f(x) = x^2$ für $x \ge 2$. Der linksseitige Grenzwert bei 2 ist $2k + 1$, der rechtsseitige $4$. Sie stimmen überein, wenn $2k + 1 = 4$ gilt, also $k = \frac{3}{2}$.

**4. Der Zwischenwertsatz.** Zeige, dass $f(x) = x^3 + x - 1$ eine Nullstelle in $(0, 1)$ hat. Die Funktion ist ein Polynom und damit auf $[0, 1]$ stetig. Wegen $f(0) = -1 < 0$ und $f(1) = 1 > 0$ garantiert der Zwischenwertsatz ein $c$ in $(0, 1)$ mit $f(c) = 0$.

## So lernst du für Einheit 1

- **Probiere zuerst direktes Einsetzen.** Kommt eine Zahl heraus, bist du fertig. Greife erst zu Termumformungen, wenn du $\frac{0}{0}$ erhältst.
- **Übe, Grenzwerte aus Graphen abzulesen.** Achte darauf, wohin die Kurve von jeder Seite läuft, nicht auf den ausgefüllten Punkt.
- **Schreibe Begründungen zur Stetigkeit vollständig auf.** Nenne den Funktionswert, den Grenzwert und dass beide gleich sind. Die Korrektoren achten auf alle drei Teile.
- **Sag jedes Mal „stetig“, wenn du den Zwischenwertsatz verwendest.** Fehlt die Bedingung der Stetigkeit, kostet das in Freitextaufgaben einen Punkt.
- **Arbeite Aufgabensammlungen durch.** Probiere die [Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten](/practice-problems/evaluating-limits), die [Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen](/practice-problems/limits-at-infinity) und die [Aufgaben zur Stetigkeit](/practice-problems/continuity), jeweils mit vollständigen Lösungen. Der Leitfaden [Grenzwerte berechnen](/blog/how-to-evaluate-limits) fasst alle Methoden an einem Ort zusammen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im [Leitfaden zu AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) oder im [Leitfaden zu AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.

## Häufig gestellte Fragen

### Worum geht es in AP Calculus Einheit 1?

Einheit 1 baut den Begriff des Grenzwerts auf. Du schätzt Grenzwerte aus Graphen und Tabellen ab, berechnest sie mit Termumformungen und dem Sandwich-Satz, ordnest Unstetigkeiten ein, verbindest Grenzwerte mit senkrechten und waagerechten Asymptoten und wendest den Zwischenwertsatz an.

### Wie viel der AP-Prüfung macht Einheit 1 aus?

Einheit 1 macht 10 bis 15 Prozent der Multiple-Choice-Punkte in AP Calculus AB und 5 bis 10 Prozent in AP Calculus BC aus. Stetigkeit und Grenzwerte tauchen auch in Freitextaufgaben auf, zum Beispiel wenn du den Zwischenwertsatz begründest.

### Unterscheidet sich Einheit 1 in AB und BC?

Nein. Die Themen sind identisch. In BC zählt die Einheit weniger, weil die BC-Prüfung zusätzlich zwei Einheiten zu Parameterkurven und Reihen abdecken muss.

### Brauche ich in Einheit 1 die Regel von L'Hospital?

Nein. Die Regel von L'Hospital kommt in Einheit 4. In Einheit 1 berechnest du Grenzwerte durch direktes Einsetzen, Faktorisieren, Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck, trigonometrische Identitäten, den Sandwich-Satz und den Gradvergleich bei Grenzwerten im Unendlichen.