# AP Calc BC Einheit 10: Unendliche Folgen und Reihen

> Wiederholung zu AP Calculus BC Einheit 10: Konvergenzkriterien, Fehlerabschätzungen, Taylor- und Maclaurin-Reihen, Konvergenzradius und -intervall, mit Übungen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ap-calculus/einheit-10-unendliche-folgen-und-reihen
Aktualisiert: 2026-11-06

## Auf einen Blick

- **Gewichtung AB:** Nicht Teil der AB-Prüfung
- **Gewichtung BC:** 15–20%
- **Kernideen:** Konvergenzkriterien, Taylorpolynome, Fehlerabschätzungen, Potenzreihen
- **Nur in BC:** Die ganze Einheit
- **Kommt nach:** Einheit 9, Parameterkurven, Polarkoordinaten und vektorwertige Funktionen
- **Hier üben:** [Analysis 2: Folgen und Reihen](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums)

## Das Wichtigste

- Einheit 10 gibt es nur in BC, und sie macht 15 bis 20 Prozent der BC-Prüfung aus, gemeinsam mit einer anderen Einheit der größte Anteil in BC.
- Eine geometrische Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ konvergiert für $|r| < 1$ gegen $\frac{a}{1 - r}$ und divergiert sonst.
- Die Taylorreihe von $f$ um $x = a$ ist $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$.
- Zwei Fehlerabschätzungen: Bei alternierenden Reihen zählt der erste weggelassene Term, die Abschätzung nach Lagrange verwendet $\frac{M}{(n + 1)!}|x - a|^{n+1}$.

**AP Calculus Einheit 10, Unendliche Folgen und Reihen** (Infinite Sequences and Series), ist die zweite Einheit, die es nur in BC gibt, und die größte. Sie stellt eine überraschende Frage: Kann man unendlich viele Zahlen addieren und ein endliches Ergebnis erhalten? Manchmal ja. Mit dieser Idee schreibt man dann Funktionen wie $e^x$ und $\sin x$ als unendliche Polynome, und genau so berechnen Taschenrechner sie tatsächlich.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Gewichtung in der Prüfung | nicht Teil der AB-Prüfung | 15–20% (nur BC) |
| Zusätzliche Themen | keine | die ganze Einheit gibt es nur in BC |

## Was Einheit 10 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

| Thema | Was du lernst | Üben |
| --- | --- | --- |
| Konvergente und divergente Reihen | Partialsummen und was Konvergenz bedeutet | [Reihen und Partialsummen](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums) |
| Geometrische Reihen | $\sum ar^n = \frac{a}{1 - r}$ für $\lvert r\rvert < 1$ | [Geometrische Reihe](/learn/calculus-2/sequences-and-series/geometric-series) |
| Nullfolgenkriterium | Gilt $a_n \not\to 0$, divergiert die Reihe | [Nullfolgenkriterium](/learn/calculus-2/sequences-and-series/nth-term-test) |
| Integralkriterium, harmonische Reihe und p-Reihen | $\sum \frac{1}{n^p}$ konvergiert nur für $p > 1$ | [Integralkriterium und p-Reihen](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) |
| Vergleichskriterien | Direkter Vergleich und Grenzwertvergleich | [Vergleichskriterien](/learn/calculus-2/sequences-and-series/comparison-tests) |
| Leibniz-Kriterium | Fallende Glieder, die gegen 0 gehen | [Alternierende Reihen](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) |
| Quotientenkriterium | Mit $\lim \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert$ arbeiten | [Quotienten- und Wurzelkriterium](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) |
| Absolute und bedingte Konvergenz | Ob auch $\sum \lvert a_n\rvert$ konvergiert | [Das passende Kriterium wählen](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) |
| Fehlerabschätzung bei alternierenden Reihen | Der Fehler ist höchstens der erste weggelassene Term | [Alternierende Reihen](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) |
| Taylorpolynome | Eine Funktion in der Nähe eines Punktes annähern | [Taylorpolynome](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) |
| Restgliedabschätzung nach Lagrange | Den Fehler einer Taylornäherung abschätzen | [Nähern mit Taylorpolynomen](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor) |
| Konvergenzradius und Konvergenzintervall | Quotientenkriterium plus Prüfung der Randpunkte | [Potenzreihen und Konvergenzradius](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) |
| Taylor- und Maclaurin-Reihen | Reihen für $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ und $\frac{1}{1 - x}$ aufstellen | [Maclaurin-Reihen](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) |
| Funktionen als Potenzreihen darstellen | Reihen substituieren, ableiten und integrieren | [Maclaurin-Reihen](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) |

## Die wichtigsten Ideen

**Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen zur Ruhe kommen.** Nähert sich $S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N$ einem endlichen Grenzwert, konvergiert die Reihe gegen diesen Grenzwert. Dass die Glieder gegen 0 gehen, ist notwendig, aber nicht hinreichend: Die Glieder der harmonischen Reihe $\sum \frac{1}{n}$ gehen gegen 0, trotzdem divergiert sie.

**Jedes Kriterium passt zu einer Form.** Das [Nullfolgenkriterium](/rules/nth-term-test) beweist nur Divergenz. Die [Formel für die geometrische Reihe](/rules/geometric-series-formula) liefert eine exakte Summe. Das [Quotientenkriterium](/rules/ratio-test) eignet sich für Fakultäten und Exponentialterme. Das [Leibniz-Kriterium](/rules/alternating-series-test) braucht Glieder, die monoton gegen 0 fallen.

**Taylorpolynome passen sich einer Funktion in der Nähe eines Punktes an.** Das Taylorpolynom vom Grad $n$ stimmt bei $x = a$ mit $f$ und seinen ersten $n$ Ableitungen überein. Mehr Terme liefern eine bessere Näherung auf einem größeren Intervall.

```graph
title: 'cos x und sein Maclaurin-Polynom vom Grad 4'
caption: 'Das Polynom $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ stimmt nahe 0 fast genau mit $\cos x$ überein und entfernt sich, wenn $|x|$ wächst.'
x: [-5, 5]
y: [-2, 3]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: 1 - x^2/2 + x^4/24
    label: P₄(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24
    dashed: true
```

**Potenzreihen konvergieren auf einem Intervall.** Bestimme mit dem Quotientenkriterium den Radius $R$ und prüfe dann jeden Randpunkt einzeln, denn dort liefert das Quotientenkriterium keine Aussage. Mehr dazu in den Leitfäden zu [Konvergenzkriterien](/blog/convergence-tests), [Potenzreihen](/blog/power-series) und [Taylorreihen](/blog/taylor-series) sowie auf der Seite zum [Satz von Taylor](/theorems/taylors-theorem).

## Beispielaufgaben

**1. Geometrische Reihe.** $\sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^n$ hat $a = 3$ und $r = \frac{1}{2}$, konvergiert also gegen $\frac{3}{1 - 1/2} = 6$.

**2. Quotientenkriterium.** Für $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ gilt:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{3n} = \frac{1}{3} < 1$$

also konvergiert die Reihe.

**3. Fehler bei einer alternierenden Reihe.** Die alternierende harmonische Reihe $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ konvergiert gegen $\ln 2$. Die ersten vier Terme ergeben $\frac{7}{12} \approx 0.583$, und der Fehler ist höchstens der nächste Term, $\frac{1}{5}$. Der tatsächliche Fehler beträgt etwa $0.110$.

**4. Konvergenzintervall.** Für $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ liefert das Quotientenkriterium $|x| < 1$. Bei $x = 1$ ist es die harmonische Reihe, die divergiert. Bei $x = -1$ ist es die alternierende harmonische Reihe, die konvergiert. Das Intervall ist $[-1, 1)$.

**5. Restgliedabschätzung nach Lagrange.** Das Maclaurin-Polynom vom Grad 2 von $e^x$ liefert $e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105$. Jede Ableitung von $e^x$ ist $e^x$, und das ist auf $[0, 0.1]$ kleiner als 3, also

$$\text{Fehler} \le \frac{3}{3!}(0.1)^3 = 0.0005$$

Der wahre Wert ist $e^{0.1} \approx 1.105171$, der Fehler beträgt also etwa $0.00017$.

## So lernst du für Einheit 10

- **Ein Ablaufschema für die Kriterien anlegen.** Lege fest, in welcher Reihenfolge du Nullfolgenkriterium, geometrische Reihe, p-Reihe, Leibniz-, Quotienten- und Vergleichskriterium prüfst, und übe dann, schnell zu wählen.
- **Immer die Randpunkte prüfen.** Die Freitextaufgabe zum Konvergenzintervall gibt für jeden Randpunkt einen Punkt, und sie verhalten sich oft verschieden.
- **Vier Maclaurin-Reihen auswendig lernen.** $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ und $\frac{1}{1 - x}$ decken den größten Teil der Prüfung ab, sobald du in sie einsetzen kannst.
- **Die Fehlerabschätzung vollständig aufschreiben.** Zeige $M$, die Fakultät und die Potenz, nicht nur eine Zahl.
- **Aufgabensammlungen durcharbeiten.** Probiere die [Aufgaben zu Konvergenzkriterien](/practice-problems/convergence-tests), die [Aufgaben zu Potenzreihen](/practice-problems/power-series) und die [Aufgaben zu Taylorreihen](/practice-problems/taylor-series), jeweils mit vollständigen Lösungen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im [Leitfaden zu AP Calculus BC](/ap-calculus/bc), und einen Vergleich der beiden Kurse im [Leitfaden zu AP Calculus AB](/ap-calculus/ab).

> AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.

## Häufig gestellte Fragen

### Worum geht es in AP Calculus Einheit 10?

Einheit 10 fragt, wann eine unendliche Summe eine endliche Zahl ergibt. Du lernst das Kriterium für geometrische Reihen, das Nullfolgenkriterium, das Integralkriterium, p-Reihen, Vergleichskriterien, das Leibniz-Kriterium und das Quotientenkriterium und nutzt dann Taylorpolynome und Potenzreihen, um Funktionen anzunähern und den Fehler abzuschätzen.

### Kommt Einheit 10 in der AP-Calculus-AB-Prüfung vor?

Nein. Einheit 10 gibt es nur in AP Calculus BC, dort macht sie 15 bis 20 Prozent der Multiple-Choice-Punkte aus. Außerdem gibt es fast immer eine vollständige Freitextaufgabe zu Taylorreihen und zum Konvergenzintervall.

### Welches Konvergenzkriterium soll ich verwenden?

Beginne mit dem Nullfolgenkriterium, um Divergenz auszuschließen. Dann schau auf die Form: Geometrische Reihen und p-Reihen haben eigene Regeln, wechselnde Vorzeichen sprechen für das Leibniz-Kriterium, und Fakultäten oder Potenzen wie $3^n$ sprechen für das Quotientenkriterium. Vergleichskriterien passen, wenn die Glieder einer bekannten Reihe ähneln.

### Welche Maclaurin-Reihen sollte ich auswendig kennen?

Lerne die Reihen für $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ und $\frac{1}{1 - x}$ auswendig. Viele Prüfungsaufgaben bauen daraus neue Reihen durch Substitution oder gliedweises Ableiten und Integrieren.