# AP Calc Einheit 3: Kettenregel und implizites Ableiten (AB/BC)

> Wiederholung zu AP Calculus Einheit 3 für AB und BC: Kettenregel, implizites Differenzieren, Ableitung von Umkehr- und Arkusfunktionen, höhere Ableitungen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ap-calculus/einheit-3-kettenregel-implizite-und-umkehrfunktionen
Aktualisiert: 2026-11-06

## Auf einen Blick

- **Gewichtung AB:** 5–10%
- **Gewichtung BC:** 5–10%
- **Kernideen:** Kettenregel, implizites Differenzieren, Umkehrfunktionen, zweite Ableitungen
- **Nur in BC:** Nichts, AB und BC behandeln in Einheit 3 dieselben Themen
- **Kommt vor:** Einheit 4, Ableitungen im Sachzusammenhang, und Einheit 5, Funktionen untersuchen
- **Hier üben:** [Analysis 1: Ableitungsregeln](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general)

## Das Wichtigste

- Einheit 3 macht in der AB- und der BC-Prüfung jeweils 5 bis 10 Prozent aus, aber die Kettenregel aus dieser Einheit brauchst du in fast jeder späteren Einheit.
- Die Kettenregel: $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$. Äußere Funktion ableiten, innere stehen lassen und mit der inneren Ableitung multiplizieren.
- Ist $g$ die Umkehrfunktion von $f$ und gilt $f(a) = b$, dann ist $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$.
- Beim impliziten Differenzieren ist $y$ eine Funktion von $x$, also bekommt jeder $y$-Term einen Faktor $\frac{dy}{dx}$.

**AP Calculus Einheit 3, verkettete, implizite und Umkehrfunktionen ableiten** (Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions), vervollständigt den Werkzeugkasten der Ableitungsregeln. Mit der Kettenregel leitest du eine Funktion ab, die in einer anderen steckt. Implizites Differenzieren hilft bei Kurven, die nicht als $y = f(x)$ gegeben sind. Umkehrfunktionen bekommen eine eigene Ableitungsformel. Die Einheit ist kurz, aber du brauchst sie für den Rest des Kurses jeden Tag.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Gewichtung in der Prüfung | 5–10% | 5–10% |
| Zusätzliche Themen | keine | keine |

## Was Einheit 3 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

| Thema | Was du lernst | Üben |
| --- | --- | --- |
| Die Kettenregel | $f(g(x))$ ableiten | [Kettenregel: allgemein](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) |
| Kettenregel mit Potenzen und Winkelfunktionen | $(3x + 1)^5$, $\sin(x^2)$, $\cos^3 x$ | [Kettenregel: Potenzen](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) |
| Kettenregel mit Exponentialfunktionen | $e^{x^2}$, $\ln(\sin x)$ | [Kettenregel: Exponentialfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials) |
| Implizites Differenzieren | $\frac{dy}{dx}$ für $x^2 + y^2 = 25$ bestimmen | [Implizites Differenzieren](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) |
| Umkehrfunktionen ableiten | $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$, wenn $f(a) = b$ | [Ableitung von Umkehrfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-function-derivatives) |
| Arkusfunktionen | Ableitungen von $\arcsin x$, $\arctan x$ und den übrigen | [Ableitungen der Arkusfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives) |
| Das passende Verfahren wählen | Die richtige Regel für einen gemischten Term finden | [Übung zu den Ableitungsregeln](/learn/calculus-1/derivative-rules/derivative-rules-practice) |
| Höhere Ableitungen | $f''(x)$, auch implizite zweite Ableitungen | [Übung zu den Ableitungsregeln](/learn/calculus-1/derivative-rules/derivative-rules-practice) |

## Die wichtigsten Ideen

**Die Kettenregel arbeitet von außen nach innen.** Für $y = f(g(x))$ gilt:

$$\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Leite die äußere Funktion ab und lass die innere unverändert, dann multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion. Auf der Seite zur [Kettenregel](/rules/chain-rule) findest du einen Beweis und weitere Varianten.

**Implizites Differenzieren liefert Steigungen auf Kurven.** Leite beide Seiten nach $x$ ab. Jedes Mal, wenn du einen $y$-Term ableitest, multiplizierst du mit $\frac{dy}{dx}$. Dann löst du nach $\frac{dy}{dx}$ auf.

```graph
title: 'Tangente an x² + y² = 25 im Punkt (3, 4)'
caption: 'Implizites Differenzieren liefert $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, die Steigung bei $(3, 4)$ ist also $-\frac{3}{4}$.'
x: [-6, 8]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: sqrt(25 - x^2)
    label: obere Hälfte von x² + y² = 25
    domain: [-5, 5]
  - expr: -sqrt(25 - x^2)
    label: untere Hälfte
    domain: [-5, 5]
  - expr: -0.75x + 6.25
    label: Tangente y = −(3/4)x + 25/4
    dashed: true
points:
  - [3, 4, '(3, 4)']
```

**Umkehrfunktionen kehren die Steigung um.** Sind $f$ und $g$ Umkehrfunktionen voneinander, sind ihre Graphen Spiegelbilder an $y = x$, und die Steigungen in einander entsprechenden Punkten sind Kehrwerte. Siehe die [Regel für Umkehrfunktionen](/rules/inverse-function-rule).

**Als Nächstes kommen zweite Ableitungen.** Die zweite Ableitung $f''(x)$ ist die Änderungsrate von $f'(x)$. In Einheit 4 wird sie zur Beschleunigung, und in Einheit 5 verrät sie dir die Krümmung.

## Beispielaufgaben

**1. Kettenregel.** $\frac{d}{dx}\sin(x^3) = \cos(x^3)\cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)$.

**2. Implizites Differenzieren.** Leite bei $x^2 + y^2 = 25$ beide Seiten ab:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Bei $(3, 4)$ ist die Steigung $-\frac{3}{4}$.

**3. Eine implizite zweite Ableitung.** Leite $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ mit der Quotientenregel ab und setze ein:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^2} = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3} = -\frac{25}{y^3}$$

**4. Umkehrfunktion aus einer Tabelle.** Sei $f(x) = x^3 + x$ und $g$ ihre Umkehrfunktion. Wegen $f(1) = 2$ und $f'(x) = 3x^2 + 1$ gilt:

$$g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$$

**5. Arkusfunktion mit Kettenregel.** $\frac{d}{dx}\arctan(2x) = \frac{1}{1 + (2x)^2}\cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

## So lernst du für Einheit 3

- **Die innere Funktion laut benennen.** Sag vor dem Ableiten, was die innere Funktion ist. Die meisten Fehler bei der Kettenregel entstehen, weil das Multiplizieren mit ihrer Ableitung vergessen wird.
- **Implizite zweite Ableitungen vereinfachen.** Setze nach dem zweiten Ableiten $\frac{dy}{dx}$ wieder ein und vereinfache mit der ursprünglichen Gleichung, wie in Beispielaufgabe 3.
- **Umkehrfunktionen mit Tabellen üben.** Suche zuerst die Zeile mit $f(a) = b$. Oft wird aus Versehen $b$ in $f'$ eingesetzt.
- **Die Regeln mischen.** Echte Prüfungsaufgaben kombinieren die Kettenregel mit der Produkt- oder Quotientenregel. Übe gemischte Sammlungen statt einer Regel nach der anderen.
- **Aufgabensammlungen durcharbeiten.** Probiere die [Aufgaben zur Kettenregel](/practice-problems/chain-rule), die [Aufgaben zum impliziten Differenzieren](/practice-problems/implicit-differentiation) und die [Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen](/practice-problems/inverse-trig-derivatives), jeweils mit vollständigen Lösungen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im [Leitfaden zu AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) oder im [Leitfaden zu AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.

## Häufig gestellte Fragen

### Worum geht es in AP Calculus Einheit 3?

Einheit 3 erweitert die Ableitungsregeln: mit der Kettenregel auf verkettete Funktionen, mit implizitem Differenzieren auf Kurven wie Kreise, außerdem auf Umkehrfunktionen und Arkusfunktionen sowie auf zweite und höhere Ableitungen.

### Wie viel der AP-Prüfung macht Einheit 3 aus?

Einheit 3 macht in AP Calculus AB und BC jeweils 5 bis 10 Prozent der Multiple-Choice-Punkte aus. Die Kettenregel steckt aber in verknüpften Änderungsraten, der Substitutionsregel, Differentialgleichungen und Reihen, sie zählt also viel mehr als ihre offizielle Gewichtung.

### Wie bestimmt man in der AP-Prüfung die Ableitung einer Umkehrfunktion?

Meist hast du keinen Term für die Umkehrfunktion. Suche das Argument $a$ mit $f(a) = b$ und verwende dann $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$. Tabellen mit Werten von $f$ und $f'$ sind ein beliebter Aufbau für diese Aufgabe.

### Welche Ableitungen der Arkusfunktionen brauche ich?

Lerne $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ und $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$ auswendig. Der Kursrahmen nennt auch $\arccos$, $\operatorname{arccot}$, $\operatorname{arcsec}$ und $\operatorname{arccsc}$, aber Arkussinus und Arkustangens kommen am häufigsten vor.