# AP Calc Einheit 5: Funktionen untersuchen (AB und BC)

> Wiederholung zu AP Calculus Einheit 5 für AB und BC: Mittelwertsatz, Extrema, Monotonie, Krümmung, Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ap-calculus/einheit-5-analytische-anwendungen-der-ableitung
Aktualisiert: 2026-11-06

## Auf einen Blick

- **Gewichtung AB:** 15–20%
- **Gewichtung BC:** 10–15%
- **Kernideen:** Mittelwertsatz, Extrema, Kriterien mit erster und zweiter Ableitung, Optimierung
- **Nur in BC:** Nichts, AB und BC behandeln in Einheit 5 dieselben Themen
- **Kommt vor:** Einheit 6, Integration und Akkumulation von Änderungen
- **Hier üben:** [Analysis 1: Anwendungen der Ableitung](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points)

## Das Wichtigste

- Einheit 5 macht 15 bis 20 Prozent der AB-Prüfung aus, gemeinsam mit Einheit 6 der größte Anteil, und 10 bis 15 Prozent der BC-Prüfung.
- Der Mittelwertsatz: Ist $f$ stetig auf $[a, b]$ und differenzierbar auf $(a, b)$, dann gibt es ein $c$ mit $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
- $f$ hat ein lokales Maximum, wo $f'$ von positiv nach negativ wechselt, und ein lokales Minimum, wo $f'$ von negativ nach positiv wechselt.
- Um auf einem abgeschlossenen Intervall ein globales Extremum zu finden, vergleichst du $f$ an jedem kritischen Punkt und an beiden Randpunkten.

**AP Calculus Einheit 5, Analytische Anwendungen der Differentiation** (Analytical Applications of Differentiation), bringt dir bei, eine Funktion über ihre Ableitungen zu lesen. Die erste Ableitung sagt, wo eine Funktion steigt und fällt. Die zweite Ableitung sagt, wie sie sich krümmt. Zusammen finden sie Maxima und Minima, und genau darum geht es bei Extremwertaufgaben. Sie ist eine der größten Einheiten der AB-Prüfung.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Gewichtung in der Prüfung | 15–20% | 10–15% |
| Zusätzliche Themen | keine | keine |

## Was Einheit 5 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

| Thema | Was du lernst | Üben |
| --- | --- | --- |
| Mittelwertsatz | Die mittlere Änderungsrate ist irgendwo gleich der momentanen | [Lineare Approximation und Mittelwertsatz](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) |
| Satz vom Maximum und Minimum und kritische Punkte | Wann Extrema existieren müssen und wo man sie sucht | [Kritische Punkte](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points) |
| Steigen und Fallen | Das Vorzeichen von $f'$ nutzen | [Monotonie](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) |
| Kriterium mit der ersten Ableitung | Lokale Extrema aus Vorzeichenwechseln von $f'$ | [Monotonie](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) |
| Kandidatentest | Globale Extrema auf einem abgeschlossenen Intervall | [Globale Extrema](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema) |
| Krümmung | Das Vorzeichen von $f''$ nutzen, und Wendepunkte | [Zweite Ableitung](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) |
| Kriterium mit der zweiten Ableitung | Einen kritischen Punkt mit $f''$ einordnen | [Zweite Ableitung](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) |
| $f$, $f'$ und $f''$ skizzieren | Zwischen den drei Graphen wechseln | [Übung zu Anwendungen](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/applications-practice) |
| Optimierung | Aus einer Textaufgabe eine Funktion aufstellen und maximieren | [Optimierung](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) |
| Implizite Beziehungen | Waagerechte und senkrechte Tangenten an Kurven wie Kreisen | [Implizites Differenzieren](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) |

## Die wichtigsten Ideen

**Der Mittelwertsatz garantiert eine passende Steigung.** Ist $f$ stetig auf $[a, b]$ und differenzierbar auf $(a, b)$, dann hat mindestens ein Punkt eine Tangente parallel zur Sekante. Die genauen Voraussetzungen findest du auf den Seiten zum [Mittelwertsatz](/theorems/mean-value-theorem) und zum [Satz vom Maximum und Minimum](/theorems/extreme-value-theorem).

**$f'$ bestimmt die Richtung, $f''$ die Form.** $f' > 0$ bedeutet steigend, $f' < 0$ fallend. $f'' > 0$ bedeutet linksgekrümmt, $f'' < 0$ rechtsgekrümmt. Ein Wendepunkt liegt dort, wo $f''$ das Vorzeichen wechselt.

```graph
title: 'f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2'
caption: 'Die kritischen Punkte sind $x = -1$ (lokales Maximum) und $x = 3$ (lokales Minimum). Bei $x = 1$ ändert sich die Krümmung.'
x: [-3, 5]
y: [-30, 15]
functions:
  - expr: x^3 - 3x^2 - 9x + 2
    label: f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2
points:
  - [-1, 7, 'lokales Maximum (−1, 7)']
  - [3, -25, 'lokales Minimum (3, −25)']
  - [1, -9, 'Wendepunkt (1, −9)']
```

**Optimierung heißt Extrema mit Geschichte.** Schreibe die Größe, die maximal oder minimal werden soll, als Funktion einer Variablen, bestimme ihre kritischen Punkte und begründe mit dem Kriterium der ersten Ableitung, dem der zweiten Ableitung oder dem Kandidatentest, dass ein Maximum oder Minimum vorliegt.

## Beispielaufgaben

**1. Mittelwertsatz.** Für $f(x) = x^2$ auf $[1, 3]$ ist die mittlere Änderungsrate $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$. Aus $f'(c) = 2c = 4$ folgt $c = 2$, und das liegt im Intervall.

**2. Lokale Extrema.** Für $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ gilt:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$$

$f'$ wechselt bei $x = -1$ von positiv nach negativ, also ist $f(-1) = 7$ ein lokales Maximum. Bei $x = 3$ wechselt die Ableitung von negativ nach positiv, also ist $f(3) = -25$ ein lokales Minimum. Da $f''(x) = 6x - 6$ bei $x = 1$ das Vorzeichen wechselt, liegt bei $(1, -9)$ ein Wendepunkt.

**3. Kandidatentest.** Prüfe auf $[-2, 4]$ die Randpunkte und kritischen Punkte: $f(-2) = 0$, $f(-1) = 7$, $f(3) = -25$ und $f(4) = -18$. Das globale Maximum ist 7 bei $x = -1$, das globale Minimum $-25$ bei $x = 3$.

**4. Optimierung.** Ein Landwirt hat 100 m Zaun, um an einem Fluss ein Rechteck einzuzäunen, wobei nur drei Seiten einen Zaun brauchen. Mit der Breite $x$ ist die Fläche $A(x) = x(100 - 2x)$. Dann ist $A'(x) = 100 - 4x = 0$ bei $x = 25$, und $A''(x) = -4 < 0$, also liegt ein Maximum vor. Die größte Fläche ist $25 \times 50 = 1250$ m².

## So lernst du für Einheit 5

- **Mit dem Graphen von $f'$ üben.** Viele Freitextaufgaben geben nur $f'$ vor. Steigen liest du dort ab, wo $f'$ oberhalb der Achse liegt, Linkskrümmung dort, wo $f'$ steigt.
- **Mit Vorzeichenwechseln begründen.** Schreib „weil $f'$ bei $x = 3$ von negativ nach positiv wechselt“. Die Korrektoren wollen die Begründung, nicht nur das Ergebnis.
- **Nie die Randpunkte auslassen.** Auf einem abgeschlossenen Intervall liegt das globale Maximum oft am Rand.
- **Zuerst die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes prüfen.** Nenne Stetigkeit und Differenzierbarkeit, bevor du etwas folgerst.
- **Aufgabensammlungen durcharbeiten.** Probiere die [Extremwertaufgaben](/practice-problems/optimization), die [Aufgaben zur Kurvendiskussion](/practice-problems/curve-sketching) und die [Aufgaben zum Mittelwertsatz](/practice-problems/mean-value-theorem), jeweils mit vollständigen Lösungen. Der Leitfaden zur [Kurvendiskussion mit Ableitungen](/blog/curve-sketching-with-derivatives) fasst die ganze Einheit zusammen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im [Leitfaden zu AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) oder im [Leitfaden zu AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.

## Häufig gestellte Fragen

### Worum geht es in AP Calculus Einheit 5?

In Einheit 5 untersuchst du eine Funktion mit der ersten und zweiten Ableitung. Du wendest den Mittelwertsatz und den Satz vom Maximum und Minimum an, bestimmst, wo eine Funktion steigt, fällt und ihre Krümmung ändert, findest lokale und globale Extrema, skizzierst Graphen und löst Extremwertaufgaben.

### Wie viel der AP-Prüfung macht Einheit 5 aus?

Einheit 5 macht 15 bis 20 Prozent der Multiple-Choice-Punkte in AP Calculus AB und 10 bis 15 Prozent in AP Calculus BC aus. Fast jede Prüfung enthält außerdem eine Freitextaufgabe, die den Graphen von $f'$ zeigt und eine Untersuchung von $f$ verlangt.

### Was ist der Kandidatentest?

Der Kandidatentest, auch Methode für abgeschlossene Intervalle genannt, liefert globale Extrema auf $[a, b]$. Liste die kritischen Punkte im Intervall und die beiden Randpunkte auf, berechne $f$ an jeder Stelle und wähle den größten und den kleinsten Wert.

### Wie begründe ich in der AP-Prüfung ein lokales Maximum?

Sag, was $f'$ tut und wo. Zum Beispiel: „$f$ hat bei $x = -1$ ein lokales Maximum, weil $f'$ dort von positiv nach negativ wechselt.“ Nur „$f'(-1) = 0$“ zu schreiben, bringt den Punkt nicht.