# AP Calc Einheit 6: Integration und Akkumulation (AB und BC)

> Wiederholung zu AP Calculus Einheit 6 für AB und BC: Riemann-Summen, Hauptsatz, Integralfunktionen, Substitutionsregel und die BC-Techniken, mit Übungen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ap-calculus/einheit-6-integration-und-akkumulation
Aktualisiert: 2026-11-06

## Auf einen Blick

- **Gewichtung AB:** 15–20%
- **Gewichtung BC:** 15–20%
- **Kernideen:** Riemann-Summen, bestimmte Integrale, der Hauptsatz, Stammfunktionen
- **Nur in BC:** Partielle Integration, Partialbruchzerlegung mit Linearfaktoren, uneigentliche Integrale
- **Kommt vor:** Einheit 7, Differentialgleichungen, und Einheit 8, Anwendungen der Integration
- **Hier üben:** [Analysis 1: Integrale](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums)

## Das Wichtigste

- Einheit 6 macht in der AB- und der BC-Prüfung jeweils 15 bis 20 Prozent aus und hat damit gemeinsam mit einer anderen Einheit den größten Anteil.
- Das bestimmte Integral einer Änderungsrate liefert die Gesamtänderung des Bestands: $\int_a^b r(t)\,dt = A(b) - A(a)$.
- Der Hauptsatz verbindet die beiden Hälften der Analysis: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$.
- In BC brauchst du außerdem partielle Integration, Partialbruchzerlegung mit Linearfaktoren und uneigentliche Integrale.

**AP Calculus Einheit 6, Integration und Akkumulation von Änderungen** (Integration and Accumulation of Change), ist der Beginn der zweiten Hälfte der Analysis. Sie macht aus Änderungsraten Bestände: Weißt du, wie schnell sich etwas ändert, sagt dir ein Integral, wie stark es sich insgesamt geändert hat. Sie ist eine der beiden größten Einheiten der Prüfung und speist die meisten Freitextaufgaben.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Gewichtung in der Prüfung | 15–20% | 15–20% |
| Zusätzliche Themen | keine | partielle Integration, Partialbruchzerlegung, uneigentliche Integrale |

## Was Einheit 6 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

| Thema | Was du lernst | Üben |
| --- | --- | --- |
| Akkumulation von Änderungen | Die Fläche unter einem Ratengraphen ist die Änderung des Bestands | [Orientierte Fläche](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) |
| Riemann-Summen | Linke, rechte und Mittelpunktsummen aus Termen und Tabellen | [Riemann-Summen](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) |
| Trapezsummen | Linke und rechte Summe mitteln | [Trapezsummen](/learn/calculus-1/integrals/trapezoid-sums) |
| Bestimmte Integrale | Der Grenzwert von Riemann-Summen und Eigenschaften von Integralen | [Orientierte Fläche](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) |
| Hauptsatz, Teil 1 | Ableitungen von Integralfunktionen | [Integralfunktionen](/learn/calculus-1/integrals/accumulation-functions) |
| Hauptsatz, Teil 2 | $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ berechnen | [Der Hauptsatz](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) |
| Stammfunktionen | Umgekehrte Potenzregel, Integrale von Winkel- und Exponentialfunktionen | [Umgekehrte Potenzregel](/learn/calculus-1/integrals/reverse-power-rule) |
| Substitution | Substitutionsregel für unbestimmte und bestimmte Integrale | [Substitutionsregel](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) |
| Partielle Integration (BC) | $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ | [Partielle Integration](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) |
| Partialbruchzerlegung (BC) | Gebrochenrationale Funktionen mit Linearfaktoren zerlegen | [Partialbruchzerlegung](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) |
| Uneigentliche Integrale (BC) | Integrale bis ins Unendliche und über senkrechte Asymptoten | [Unendliche Integrationsgrenzen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) |

## Die wichtigsten Ideen

**Riemann-Summen schätzen Flächen.** Teile $[a, b]$ in Stücke, multipliziere jede Breite mit einer Höhe und addiere. Bei einer steigenden Funktion ist die linke Summe zu klein und die rechte zu groß. Eine Trapezsumme mittelt die beiden.

```graph
title: 'Fläche unter y = x² + 1 von 0 bis 2'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = \frac{14}{3}$. Eine Riemann-Summe nähert sie mit Rechtecken an.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-0.5, 5.5]
functions:
  - expr: x^2 + 1
    label: y = x² + 1
shade: {expr: x^2 + 1, from: 0, to: 2}
```

**Das bestimmte Integral ist die Gesamtänderung.** Ist $r(t)$ eine Änderungsrate, dann ist $\int_a^b r(t)\,dt$ die Gesamtänderung von $t = a$ bis $t = b$. Diese Idee steckt hinter jeder Freitextaufgabe mit Zufluss und Abfluss.

**Der Hauptsatz verbindet alles.** Teil 1 besagt, dass eine Integralfunktion eine Stammfunktion ist:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$

Teil 2 besagt, dass du ein bestimmtes Integral mit jeder beliebigen Stammfunktion $F$ berechnen kannst:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Mehr dazu beim [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) und [Teil 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2).

## Beispielaufgaben

**1. Eine Tabelle (ohne Taschenrechner).** Die Durchflussrate $r(t)$ in Litern pro Minute wird bei $t = 0, 2, 5$ gemessen, mit den Werten $4, 6, 9$. Eine Trapezsumme schätzt die gesamte Durchflussmenge:

$$\frac{4 + 6}{2}\cdot 2 + \frac{6 + 9}{2}\cdot 3 = 10 + 22.5 = 32.5 \text{ Liter}$$

Beachte die ungleichen Abstände. AP-Tabellen haben sie oft, also nimm nie gleiche Abstände an.

**2. Eine Integralfunktion.** Ist $g(x) = \int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt$, dann gilt nach dem Hauptsatz $g'(2) = \sqrt{8 + 1} = 3$. Die Stammfunktion brauchst du gar nicht.

**3. Substitution.** Berechne $\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ mit $u = x^2 + 1$, also $du = 2x\,dx$, und die Grenzen werden zu $1$ und $2$:

$$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

**4. BC: partielle Integration.** Mit $u = x$ und $dv = \cos x\,dx$:

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

## So lernst du für Einheit 6

- **Das Integral in Worten lesen lernen.** „Die Gesamtzahl der Liter, die in den ersten 5 Minuten hineingeflossen sind“ ist $\int_0^5 r(t)\,dt$. Freitextaufgaben verlangen, dass du die Bedeutung eines Integrals im Sachzusammenhang mit Einheiten erklärst.
- **Tabellen mit ungleichen Abständen üben.** Sie sind in der Prüfung der häufigste Aufbau für Riemann- und Trapezsummen.
- **Integralfunktionen schnell ableiten.** Fragen zu $g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ kommen im Stil von Einheit 5 wieder: wo $g$ steigt, Extrema hat oder linksgekrümmt ist.
- **Die Stammfunktionen trainieren.** Nutze die [Übersicht der Integrale](/integrals) und die [Formelsammlung](/formulas), bis die grundlegenden automatisch sitzen.
- **Aufgabensammlungen durcharbeiten.** Probiere die [Aufgaben zu Riemann-Summen](/practice-problems/riemann-sums) und die [Aufgaben zur Substitutionsregel](/practice-problems/u-substitution), jeweils mit vollständigen Lösungen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im [Leitfaden zu AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) oder im [Leitfaden zu AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.

## Häufig gestellte Fragen

### Worum geht es in AP Calculus Einheit 6?

Einheit 6 führt die Integration ein. Sie beginnt mit dem Abschätzen akkumulierter Änderungen durch Riemann-Summen, definiert das bestimmte Integral, verbindet es über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit Stammfunktionen und baut die grundlegenden Integrationstechniken auf, darunter die Substitutionsregel.

### Wie viel der AP-Prüfung macht Einheit 6 aus?

Einheit 6 macht in AP Calculus AB und BC jeweils 15 bis 20 Prozent der Multiple-Choice-Punkte aus. Ihre Ideen tauchen außerdem in den meisten Freitextaufgaben auf, besonders in solchen mit Tabellen, Änderungsraten oder Graphen von $f'$.

### Was ist in Einheit 6 der Unterschied zwischen AB und BC?

Beide Kurse behandeln Riemann-Summen, den Hauptsatz, Integralfunktionen und die Substitutionsregel. BC ergänzt partielle Integration, Integration mit Partialbruchzerlegung bei Linearfaktoren und uneigentliche Integrale.

### Kommen Riemann-Summen in der AP-Prüfung vor?

Ja. Du solltest linke, rechte, Mittelpunkt- und Trapezsummen aus einem Funktionsterm oder einer Tabelle mit ungleichen Abständen berechnen und entscheiden können, ob eine Schätzung zu groß oder zu klein ist.