# AP Calc Einheit 7: Differentialgleichungen (AB und BC)

> AP Calculus Einheit 7 für AB und BC: Richtungsfelder, Trennung der Variablen, Exponentialmodelle, in BC Euler-Verfahren und logistisches Wachstum.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ap-calculus/einheit-7-differentialgleichungen
Aktualisiert: 2026-11-06

## Auf einen Blick

- **Gewichtung AB:** 5–10%
- **Gewichtung BC:** 5–10%
- **Kernideen:** Richtungsfelder, Trennung der Variablen, spezielle Lösungen, Exponentialmodelle
- **Nur in BC:** Euler-Verfahren, logistische Modelle
- **Kommt vor:** Einheit 8, Anwendungen der Integration
- **Hier üben:** [Analysis 2: Differentialgleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields)

## Das Wichtigste

- Einheit 7 macht in der AB- und der BC-Prüfung jeweils 5 bis 10 Prozent aus, und in den meisten Freitextteilen kommt eine Aufgabe zu Differentialgleichungen vor.
- Trenne die Variablen, integriere beide Seiten, schreibe sofort $C$ dazu und bestimme $C$ dann mit der Anfangsbedingung.
- Jede Lösung von $\frac{dy}{dt} = ky$ hat die Form $y = Ce^{kt}$.
- In BC brauchst du außerdem das Euler-Verfahren und das logistische Modell $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$.

**AP Calculus Einheit 7, Differentialgleichungen** (Differential Equations), bringt Ableitungen und Integrale zusammen. Eine Differentialgleichung sagt dir, wie sich eine Größe ändert, etwa $\frac{dy}{dx} = xy$, und deine Aufgabe ist es, die Größe selbst zu finden. Im Multiple-Choice-Teil ist die Einheit eher klein, aber in den meisten Prüfungen hat sie eine eigene Freitextaufgabe.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Gewichtung in der Prüfung | 5–10% | 5–10% |
| Zusätzliche Themen | keine | Euler-Verfahren, logistische Modelle |

## Was Einheit 7 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

| Thema | Was du lernst | Üben |
| --- | --- | --- |
| Modellieren mit Differentialgleichungen | „Die Änderungsrate ist proportional zu“ in eine Gleichung übersetzen | [Wachstum und Abnahme](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) |
| Lösungen überprüfen | Eine Funktion in die Gleichung einsetzen | [Separierbare Gleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Richtungsfelder zeichnen | Kurze Strecken mit der Steigung $\frac{dy}{dx}$ zeichnen | [Richtungsfelder](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) |
| Mit Richtungsfeldern argumentieren | Felder den Gleichungen zuordnen und Lösungen nachzeichnen | [Richtungsfelder](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) |
| Euler-Verfahren (BC) | Entlang von Tangenten schrittweise eine Lösung annähern | [Euler-Verfahren](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/eulers-method) |
| Allgemeine Lösungen durch Trennung | Variablen trennen und integrieren | [Separierbare Gleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Spezielle Lösungen | Mit einer Anfangsbedingung $C$ bestimmen | [Separierbare Gleichungen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Exponentialmodelle | $\frac{dy}{dt} = ky$ und $y = y_0 e^{kt}$ | [Wachstum und Abnahme](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) |
| Logistische Modelle (BC) | Wachstum, das sich an einer Kapazitätsgrenze einpendelt | [Logistisches Wachstum](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) |

## Die wichtigsten Ideen

**Eine Lösung ist eine Funktion, keine Zahl.** Um zu prüfen, ob $y = Ce^{3x}$ die Gleichung $y' = 3y$ löst, leitest du ab: $y' = 3Ce^{3x} = 3y$. Das funktioniert für jedes $C$, es gibt also eine ganze Schar von Lösungen. Eine Anfangsbedingung wählt eine davon aus.

**Richtungsfelder zeigen alle Lösungen auf einmal.** Zeichne in jedem Punkt $(x, y)$ eine kurze Strecke mit der Steigung $\frac{dy}{dx}$. Eine Lösungskurve folgt den Strecken wie ein Blatt der Strömung. Hängt $\frac{dy}{dx}$ nur von $x$ ab, sind die Strecken in derselben Spalte parallel.

**Trennung der Variablen löst die Gleichung exakt.** Bringe jedes $y$ mit $dy$ auf eine Seite und jedes $x$ mit $dx$ auf die andere, dann integriere beide Seiten.

```graph
title: 'Die spezielle Lösung y = 2e^(x²/2)'
caption: 'Diese Kurve löst $\frac{dy}{dx} = xy$ mit $y(0) = 2$. Ihre Steigung ist bei $x = 0$ gleich 0 und wächst, wenn $x$ und $y$ wachsen.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-1, 16]
functions:
  - expr: 2exp(x^2/2)
    label: y = 2e^(x²/2)
points:
  - [0, 2, 'Anfangsbedingung (0, 2)']
```

**Exponentielles Wachstum ist eine Differentialgleichung.** „Die Änderungsrate von $y$ ist proportional zu $y$“ bedeutet $\frac{dy}{dt} = ky$, und die Lösungen sind $y = y_0 e^{kt}$. Wachstum hat $k > 0$, Abnahme hat $k < 0$.

**BC: Logistisches Wachstum pendelt sich ein.** Bei $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$ nähert sich die Population der Kapazitätsgrenze $L$ und wächst am schnellsten bei $P = \frac{L}{2}$.

## Beispielaufgaben

**1. Trennung der Variablen.** Löse $\frac{dy}{dx} = xy$ mit $y(0) = 2$. Trennen und integrieren:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$$

Bei $(0, 2)$ ist $C = \ln 2$. Da $y > 0$ ist, gilt $y = 2e^{x^2/2}$.

**2. Exponentielle Abnahme.** Eine Probe von 100 g hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Nach 15 Jahren sind drei Halbwertszeiten vergangen, also bleiben $100\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12.5$ g übrig. In der Form $y = 100e^{kt}$ ist $k = -\frac{\ln 2}{5}$.

**3. Ein Richtungsfeld lesen.** Für $\frac{dy}{dx} = x - y$ ist die Steigung bei $(1, 0)$ gleich $1$ und bei $(2, 2)$ gleich $0$. Jeder Punkt auf der Geraden $y = x$ hat eine waagerechte Strecke.

**4. BC: Euler-Verfahren.** Für $\frac{dy}{dx} = x + y$ mit $y(0) = 1$ schätzt du $y(1)$ mit zwei Schritten der Weite $0.5$:

| Punkt | Steigung $x + y$ | Nächstes $y$ |
| --- | --- | --- |
| $(0, 1)$ | $1$ | $1 + 0.5(1) = 1.5$ |
| $(0.5, 1.5)$ | $2$ | $1.5 + 0.5(2) = 2.5$ |

Also $y(1) \approx 2.5$. Die exakte Lösung ist $y = 2e^x - x - 1$ und liefert $y(1) = 2e - 2 \approx 3.44$. Die Lösung ist linksgekrümmt, deshalb unterschätzt das Euler-Verfahren.

**5. BC: Logistisches Modell.** Für $\frac{dP}{dt} = 0.2P\left(1 - \frac{P}{500}\right)$ ist die Kapazitätsgrenze 500, und die Population wächst am schnellsten bei $P = 250$.

## So lernst du für Einheit 7

- **$C$ sofort beim Integrieren ergänzen.** Ergänzt du es erst nach dem Auflösen nach $y$, erhältst du eine falsche Lösungsschar und verlierst Punkte.
- **Die Anfangsbedingung gleich verwenden.** Setzt du vor dem Auflösen nach $y$ ein, wird die Rechnung oft einfacher.
- **Richtungsfelder von Hand zeichnen üben.** Die Freitextaufgabe verlangt meist Strecken in 6 bis 9 Punkten.
- **Die Verbindung zu Einheit 5 herstellen.** Oft wird gefragt, ob eine Lösung in einem Punkt linksgekrümmt ist. Bestimme $\frac{d^2y}{dx^2}$, indem du die Gleichung implizit ableitest.
- **Aufgabensammlungen durcharbeiten.** Probiere die [Aufgaben zu Differentialgleichungen](/practice-problems/differential-equations), jeweils mit vollständigen Lösungen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im [Leitfaden zu AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) oder im [Leitfaden zu AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.

## Häufig gestellte Fragen

### Worum geht es in AP Calculus Einheit 7?

Einheit 7 behandelt Gleichungen, in denen eine Ableitung vorkommt. Du stellst Differentialgleichungen aus Textbeschreibungen auf, prüfst, ob eine Funktion eine Lösung ist, zeichnest und liest Richtungsfelder, löst separierbare Gleichungen mit Anfangsbedingung und verwendest Modelle für exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme.

### Wie viel der AP-Prüfung macht Einheit 7 aus?

Einheit 7 macht in AP Calculus AB und BC jeweils 5 bis 10 Prozent der Multiple-Choice-Punkte aus. In den meisten Prüfungen gibt es eine Freitextaufgabe zu Richtungsfeldern und Trennung der Variablen, die Einheit ist also mehr wert, als ihre Gewichtung vermuten lässt.

### Was ist in Einheit 7 der Unterschied zwischen AB und BC?

Beide Kurse behandeln Richtungsfelder, Trennung der Variablen und Exponentialmodelle. BC ergänzt das Euler-Verfahren zum Annähern von Lösungen und logistische Wachstumsmodelle mit einer Kapazitätsgrenze.

### Warum verliere ich beim Lösen separierbarer Gleichungen Punkte?

Die häufigsten Gründe sind, $+C$ zu spät zu ergänzen, also erst nach dem Auflösen nach $y$, und vor dem Integrieren nicht zu trennen. Für eine Lösung, die die Variablen nie trennt, gibt es für den Rest keine Punkte.