# AP Calc BC Einheit 9: Parameterkurven, Polarform und Vektoren

> Wiederholung zu AP Calculus BC Einheit 9: Ableitungen und Bogenlänge von Parameterkurven, Bewegung mit Vektoren, Steigung und Fläche in Polarkoordinaten.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/ap-calculus/einheit-9-parameterkurven-polarkoordinaten-und-vektorfunktionen
Aktualisiert: 2026-11-06

## Auf einen Blick

- **Gewichtung AB:** Nicht Teil der AB-Prüfung
- **Gewichtung BC:** 10–15%
- **Kernideen:** Ableitungen von Parameterkurven, Bogenlänge, Bewegung in der Ebene, Fläche in Polarkoordinaten
- **Nur in BC:** Die ganze Einheit
- **Kommt vor:** Einheit 10, unendliche Folgen und Reihen
- **Hier üben:** [Analysis 2: Parameter- und Polarkurven](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves)

## Das Wichtigste

- Einheit 9 gibt es nur in BC, und sie macht 10 bis 15 Prozent der BC-Prüfung aus.
- Für eine Parameterkurve gilt $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, und $\frac{d^2y}{dx^2}$ ist die Ableitung von $\frac{dy}{dx}$ nach $t$, geteilt durch $\frac{dx}{dt}$.
- Der Betrag der Geschwindigkeit in der Ebene ist $\sqrt{\left(x'(t)\right)^2 + \left(y'(t)\right)^2}$, und sein Integral liefert die zurückgelegte Strecke.
- Die Fläche innerhalb einer Kurve in Polarkoordinaten ist $\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

**AP Calculus Einheit 9, Parametergleichungen, Polarkoordinaten und vektorwertige Funktionen** (Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions), ist die erste der beiden Einheiten, die es nur in BC gibt. Sie holt Ableitungen und Integrale von der $x$-Achse in die Ebene: ein Teilchen, das sich auf einer Bahn bewegt, eine Kurve, die durch Winkel und Abstand vom Ursprung gegeben ist, ein Ort, der als Vektor geschrieben wird. Die Analysis bleibt dieselbe. Was sich ändert, ist der Ansatz.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Gewichtung in der Prüfung | nicht Teil der AB-Prüfung | 10–15% (nur BC) |
| Zusätzliche Themen | keine | die ganze Einheit gibt es nur in BC |

## Was Einheit 9 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

| Thema | Was du lernst | Üben |
| --- | --- | --- |
| Parametergleichungen | Steigungen $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ und Tangenten | [Parameterkurven](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) |
| Zweite Ableitungen von Parametergleichungen | Krümmung einer Parameterkurve | [Parameterkurven](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) |
| Bogenlänge von Parameterkurven | $\int_a^b \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,dt$ | [Bogenlänge von Parameterkurven](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) |
| Vektorwertige Funktionen | $\langle x(t), y(t)\rangle$ ableiten | [Bewegung in Parameterform](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Vektorwertige Funktionen integrieren | Ort aus Geschwindigkeit, Komponente für Komponente | [Bewegung in Parameterform](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Bewegung in der Ebene | Geschwindigkeit, Betrag, Beschleunigung und zurückgelegte Strecke | [Bewegung in Parameterform](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Polarkoordinaten und Ableiten | Umrechnen und Steigungen von Polarkurven | [Steigungen in Polarkoordinaten](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-slopes) |
| Fläche eines Gebiets in Polarkoordinaten | $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$ für eine Kurve | [Fläche in Polarkoordinaten](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) |
| Fläche zwischen zwei Polarkurven | Äußeres Quadrat minus inneres Quadrat | [Fläche in Polarkoordinaten](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) |

## Die wichtigsten Ideen

**Eine Parameterkurve ist eine Bahn, die mit der Zeit durchlaufen wird.** $x$ und $y$ hängen beide von einem Parameter $t$ ab. Die Steigung ist ein Verhältnis von Änderungsraten:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$$

```graph
title: 'Der Kreis in Parameterform x = 2cos t, y = 2sin t'
caption: 'Wenn $t$ von 0 bis $2\pi$ läuft, durchläuft der Punkt den Kreis $x^2 + y^2 = 4$ einmal gegen den Uhrzeigersinn. Die Bogenlänge von $t = 0$ bis $t = \pi$ ist $2\pi$.'
x: [-3, 3]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: sqrt(4 - x^2)
    label: obere Hälfte (0 ≤ t ≤ π)
    domain: [-2, 2]
  - expr: -sqrt(4 - x^2)
    label: untere Hälfte (π ≤ t ≤ 2π)
    domain: [-2, 2]
    dashed: true
points:
  - [2, 0, 't = 0']
  - [0, 2, 't = π/2']
```

**Vektoren bündeln die Bewegung.** Ist der Ort $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$, dann ist die Geschwindigkeit $\vec{v}(t) = \langle x'(t), y'(t)\rangle$ und die Beschleunigung $\vec{a}(t) = \langle x''(t), y''(t)\rangle$. Der Betrag der Geschwindigkeit ist die Länge des Geschwindigkeitsvektors, und die Gesamtstrecke ist sein Integral.

**Polarkurven verwenden Winkel und Abstand.** Ein Punkt ist $(r, \theta)$ mit $x = r\cos\theta$ und $y = r\sin\theta$. Für Steigungen leitest du $x$ und $y$ nach $\theta$ ab und teilst. Für Flächen addierst du schmale Sektoren:

$$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$$

## Beispielaufgaben

**1. Steigung und Krümmung einer Parameterkurve.** Für $x = t^2$ und $y = t^3 - 3t$ gilt:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 3}{2t} = \frac{3}{2}\left(t - \frac{1}{t}\right)$$

Bei $t = 2$ ist die Steigung $\frac{9}{4}$. Die Kurve hat bei $t = \pm 1$ waagerechte Tangenten. Für die Krümmung ist $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right)$, bei $t = 2$ also:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}}{4} = \frac{15}{32}$$

**2. Bogenlänge einer Parameterkurve.** Für $x = 2\cos t$ und $y = 2\sin t$ auf $[0, \pi]$ ist $(x')^2 + (y')^2 = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4$, die Länge ist also $\int_0^\pi 2\,dt = 2\pi$, der halbe Umfang eines Kreises mit Radius 2.

**3. Bewegung in der Ebene.** Ein Teilchen hat den Ort $\vec{r}(t) = \langle t^2, 3t\rangle$. Dann ist $\vec{v}(t) = \langle 2t, 3\rangle$ und $\vec{a}(t) = \langle 2, 0\rangle$. Bei $t = 2$ ist der Betrag der Geschwindigkeit $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

**4. Fläche in Polarkoordinaten.** Die Fläche innerhalb der Kardioide $r = 1 + \cos\theta$ ist

$$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{1}{2}\left(2\pi + 0 + \pi\right) = \frac{3\pi}{2}$$

mit $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$ und $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

## So lernst du für Einheit 9

- **Zweimal durch $\frac{dx}{dt}$ teilen.** Es steht in der ersten Ableitung und noch einmal in der zweiten. Es in $\frac{d^2y}{dx^2}$ wegzulassen, ist der häufigste Fehler in Einheit 9.
- **Vektoren Komponente für Komponente behandeln.** Ableiten, integrieren und Anfangsorte addieren machst du für $x$ und $y$ getrennt.
- **Zuerst die Schnittpunkte der Polarkurven bestimmen.** Für die Fläche zwischen zwei Polarkurven setzt du die $r$-Werte gleich, um die Grenzen für $\theta$ zu erhalten, und verwendest dann $\frac{1}{2}\int \left(r_{\text{außen}}^2 - r_{\text{innen}}^2\right)d\theta$.
- **Den Taschenrechner nutzen, wo er erlaubt ist.** Viele Integrale zu Polarflächen und Bogenlängen haben keine einfache Stammfunktion und kommen deshalb im Teil mit Taschenrechner vor.
- **Aufgabensammlungen durcharbeiten.** Probiere die [Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten](/practice-problems/parametric-and-polar), jeweils mit vollständigen Lösungen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im [Leitfaden zu AP Calculus BC](/ap-calculus/bc), und einen Vergleich der beiden Kurse im [Leitfaden zu AP Calculus AB](/ap-calculus/ab).

> AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.

## Häufig gestellte Fragen

### Worum geht es in AP Calculus Einheit 9?

Einheit 9 überträgt die Analysis auf Kurven, die keine Graphen von $y = f(x)$ sind. Du bestimmst erste und zweite Ableitungen sowie Bogenlängen von Parameterkurven, untersuchst Bewegungen mit vektorwertigen Funktionen und bestimmst Steigungen und Flächen für Kurven in Polarkoordinaten.

### Kommt Einheit 9 in der AP-Calculus-AB-Prüfung vor?

Nein. Einheit 9 gibt es nur in AP Calculus BC, dort macht sie 10 bis 15 Prozent der Multiple-Choice-Punkte aus. Sie kommt auch im Freitextteil vor, meist als Teilchen, das sich in der Ebene bewegt, oder als Gebiet in Polarkoordinaten.

### Was ist in Einheit 9 am schwierigsten?

Die zweite Ableitung von Parameterkurven und die Fläche in Polarkoordinaten. Bei $\frac{d^2y}{dx^2}$ vergessen viele, durch $\frac{dx}{dt}$ zu teilen. Bei der Fläche in Polarkoordinaten sind die typischen Fehler das vergessene $\frac{1}{2}$ und falsche Grenzen für $\theta$.

### Muss ich Polarkurven in kartesische Form umrechnen?

Manchmal. Für Steigungen von Polarkurven verwendest du $x = r\cos\theta$ und $y = r\sin\theta$. Für Flächen bleibst du in Polarform und verwendest $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$.