# Doppelintegrale: Iterierte Integrale, Bereiche und Polarkoordinaten > Doppelintegrale Schritt für Schritt: iterierte Integrale, Satz von Fubini, krummlinige Bereiche, Reihenfolge vertauschen und Polarkoordinaten. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/doppelintegrale Aktualisiert: 2026-10-20 ## Das Wichtigste - Ein Doppelintegral $\iint_R f(x, y)\,dA$ summiert $f$ über einen Bereich auf, und für $f \ge 0$ ist es das Volumen unter der Fläche $z = f(x, y)$. - Du berechnest es als iteriertes Integral: Integriere nach der inneren Variablen, während die äußere konstant bleibt, und integriere dann das Ergebnis. - Bei einem nicht rechteckigen Bereich sind die inneren Grenzen Funktionen der äußeren Variablen, und die äußeren Grenzen sind immer Konstanten. - In Polarkoordinaten gilt $dA = r\,dr\,d\theta$. Vergiss nie den zusätzlichen Faktor $r$. Ein einfaches Integral summiert eine Funktion entlang eines Intervalls auf. Ein Doppelintegral summiert sie über einen ganzen Bereich der Ebene auf, und damit kannst du Volumen, Massen und Mittelwerte über zweidimensionale Formen bestimmen. Das Überraschende: Du brauchst dafür nie eine neue Technik, du rechnest einfach zwei gewöhnliche Integrale hintereinander. Schwierig ist nur, die Grenzen richtig zu setzen. Dieser Leitfaden behandelt iterierte Integrale und den Satz von Fubini, Integrale über krummlinig begrenzte Bereiche, das Vertauschen der Integrationsreihenfolge und Polarkoordinaten, mit jedem Schritt ausgeführt. ## Was ist ein Doppelintegral? Zerlege einen Bereich $R$ in der $xy$-Ebene in winzige Rechtecke mit dem Flächeninhalt $\Delta A$. Errichte über jedem eine dünne Säule der Höhe $f(x, y)$. Das **Doppelintegral** ist der Grenzwert des Gesamtvolumens dieser Säulen, wenn die Rechtecke immer kleiner werden: $$\iint_R f(x, y)\,dA = \lim_{\Delta A \to 0} \sum f(x_i, y_i)\,\Delta A$$ Es ist die zweidimensionale Version einer Riemann-Summe. Für $f \ge 0$ ist es das **Volumen** unter $z = f(x, y)$ und über $R$. Für $f = 1$ ist es einfach der **Flächeninhalt** von $R$. ## Iterierte Integrale und der Satz von Fubini Die Definition über den Grenzwert verwendest du fast nie. Stattdessen berechnest du ein **iteriertes Integral**, eine Variable nach der anderen. Der **Satz von Fubini** besagt, dass für ein stetiges $f$ auf dem Rechteck $R = [a, b] \times [c, d]$ gilt: $$\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x, y)\,dx\,dy$$ Lies das iterierte Integral von innen nach außen. Bei $\int_a^b \int_c^d f\,dy\,dx$ integrierst du zuerst nach $y$ und behandelst $x$ als Konstante (wie eine [partielle Ableitung](/blog/partial-derivatives), nur rückwärts). Das Ergebnis ist eine Funktion von $x$ allein. Dann integrierst du diese von $a$ bis $b$. ### Rechenbeispiel 1: ein Rechteck, beide Reihenfolgen Berechne $\iint_R (x + 2y)\,dA$ mit $R = [0, 2] \times [0, 3]$, also $0 \le x \le 2$ und $0 \le y \le 3$. **Schritt 1. Inneres Integral nach $y$, $x$ bleibt konstant.** $$\int_0^3 (x + 2y)\,dy = \Big[xy + y^2\Big]_{y=0}^{y=3} = 3x + 9$$ **Schritt 2. Äußeres Integral nach $x$.** $$\int_0^2 (3x + 9)\,dx = \Big[\tfrac{3}{2}x^2 + 9x\Big]_0^2 = 6 + 18 = 24$$ **Schritt 3. Mit der anderen Reihenfolge prüfen.** Innen nach $x$: $\int_0^2 (x + 2y)\,dx = 2 + 4y$. Außen nach $y$: $\int_0^3 (2 + 4y)\,dy = 6 + 18 = 24$. Dieselbe Antwort, wie Fubini es verspricht. > **Tipp:** Zerfällt der Integrand in $g(x)\,h(y)$ und ist der Bereich ein Rechteck, zerfällt das Doppelintegral in ein Produkt: $\left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\left(\int_c^d h(y)\,dy\right)$. ## Doppelintegrale über nicht rechteckige Bereiche Die meisten Bereiche werden von Kurven begrenzt. Es gibt zwei übliche Arten, sie zu beschreiben (sogenannte Normalbereiche). **Typ I (senkrechte Streifen):** $a \le x \le b$ und $g_1(x) \le y \le g_2(x)$. Integriere zuerst nach $y$: $$\iint_R f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx$$ **Typ II (waagerechte Streifen):** $c \le y \le d$ und $h_1(y) \le x \le h_2(y)$. Integriere zuerst nach $x$: $$\iint_R f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y)\,dx\,dy$$ Die goldene Regel: **Die äußeren Grenzen sind Konstanten, und die inneren Grenzen dürfen nur von der äußeren Variablen abhängen.** So stellst du die Grenzen auf: 1. Skizziere den Bereich und beschrifte jede Randkurve. 2. Wähle die Reihenfolge. Für $dy\,dx$ zeichnest du eine senkrechte Linie durch den Bereich: Sie tritt an der unteren Kurve $g_1(x)$ ein und an der oberen Kurve $g_2(x)$ aus. 3. Die äußeren Grenzen sind das kleinste und das größte $x$ im ganzen Bereich. ### Rechenbeispiel 2: ein Bereich unter einer Kurve Berechne $\iint_R xy\,dA$, wobei $R$ von $y = \sqrt{x}$, $y = 0$ und $x = 4$ begrenzt wird. ```graph title: 'Der Bereich zwischen y = √x, der x-Achse und der Geraden x = 4' caption: 'Als Bereich vom Typ I: $0 \le x \le 4$ und $0 \le y \le \sqrt{x}$. Als Bereich vom Typ II: $0 \le y \le 2$ und $y^2 \le x \le 4$.' x: [-0.5, 5] y: [-0.5, 2.6] functions: - expr: sqrt(x) label: y = √x shade: {expr: sqrt(x), from: 0, to: 4} vertical: - {x: 4, label: 'x = 4'} points: - [4, 2, '(4, 2)'] ``` **Schritt 1. Den Bereich beschreiben.** Eine senkrechte Linie bei $x$ tritt bei $y = 0$ ein und bei $y = \sqrt{x}$ aus, für $x$ von $0$ bis $4$. **Schritt 2. Inneres Integral nach $y$.** $$\int_0^{\sqrt{x}} xy\,dy = x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{x}} = x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2}$$ **Schritt 3. Äußeres Integral nach $x$.** $$\int_0^4 \frac{x^2}{2}\,dx = \left[\frac{x^3}{6}\right]_0^4 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$$ ## So vertauschst du die Integrationsreihenfolge Die Reihenfolge zu vertauschen bedeutet, **denselben Bereich** mit waagerechten statt senkrechten Streifen zu beschreiben (oder umgekehrt). Du kannst die Grenzen nicht einfach tauschen. Du musst neu zeichnen. **Schritt 1. Den Bereich** aus den aktuellen Grenzen **rekonstruieren** und skizzieren. **Schritt 2. Den konstanten Bereich der neuen äußeren Variablen bestimmen.** **Schritt 3. Für einen typischen Wert davon bestimmen, wo die neue innere Variable ein- und austritt.** Löse jede Randkurve nach der inneren Variablen auf. Rechne Beispiel 2 noch einmal in der Reihenfolge $dx\,dy$. Der Bereich reicht von $y = 0$ bis $y = 2$ (da $\sqrt{4} = 2$). Eine waagerechte Linie in der Höhe $y$ tritt an der Kurve ein, wo $x = y^2$ ist, und bei $x = 4$ aus: $$\int_0^2 \int_{y^2}^{4} xy\,dx\,dy = \int_0^2 y\cdot\frac{16 - y^4}{2}\,dy = \int_0^2 \left(8y - \frac{y^5}{2}\right)dy = 16 - \frac{64}{12} = \frac{32}{3}$$ Dieselbe Antwort, und eine hervorragende Kontrolle deiner Grenzen. ### Rechenbeispiel 3: Vertauschen, damit es überhaupt geht Berechne $\displaystyle\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy$. Das innere Integral $\int e^{x^2}\,dx$ hat keine elementare Stammfunktion, in dieser Reihenfolge kommst du also nicht weiter. Vertausche. **Schritt 1. Den Bereich ablesen.** $0 \le y \le 1$ und $y \le x \le 1$. Das ist das Dreieck unter der Geraden $y = x$, über $y = 0$ und links von $x = 1$. ```graph title: 'Der dreieckige Bereich unter y = x zwischen x = 0 und x = 1' caption: 'Dasselbe Dreieck auf zwei Arten beschrieben: $0 \le y \le 1,\ y \le x \le 1$ oder $0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le x$.' x: [-0.3, 1.5] y: [-0.3, 1.3] functions: - expr: x label: y = x shade: {expr: x, from: 0, to: 1} vertical: - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` **Schritt 2. Mit senkrechten Streifen beschreiben.** $x$ läuft von $0$ bis $1$, und für jedes $x$ läuft $y$ von $0$ bis zur Geraden $y = x$. **Schritt 3. In der neuen Reihenfolge integrieren.** $$\int_0^1 \int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 x e^{x^2}\,dx$$ **Schritt 4. Mit der [Substitutionsregel](/blog/u-substitution) abschließen.** Mit $u = x^2$, $du = 2x\,dx$: $$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx = \left[\tfrac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{e - 1}{2}$$ Das innere Integral nach $y$ hat den Faktor $x$ erzeugt, der die Substitution möglich gemacht hat. Das ist der klassische Grund für das Vertauschen. ## Doppelintegrale in Polarkoordinaten Ist der Bereich eine Kreisscheibe, ein Ring oder ein Sektor, werden kartesische Grenzen unübersichtlich. Wechsle zu Polarkoordinaten: $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad x^2 + y^2 = r^2, \quad dA = r\,dr\,d\theta$$ $$\iint_R f(x, y)\,dA = \int_\alpha^\beta \int_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$$ Das zusätzliche $r$ steht da, weil ein kleines Flächenstück in Polarkoordinaten die Breite $dr$ und die Bogenlänge $r\,d\theta$ hat. ### Rechenbeispiel 4: Volumen unter einem Paraboloid Bestimme das Volumen unter $z = 4 - x^2 - y^2$ und über der $xy$-Ebene. **Schritt 1. Den Bereich bestimmen.** Die Fläche trifft $z = 0$, wo $x^2 + y^2 = 4$ ist, also auf einer Kreisscheibe mit Radius 2. In Polarkoordinaten: $0 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le 2\pi$. **Schritt 2. Den Integranden umrechnen.** $4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2$. **Schritt 3. Mit $dA = r\,dr\,d\theta$ aufstellen.** $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta$$ **Schritt 4. Inneres Integral.** $$\int_0^2 (4r - r^3)\,dr = \left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 8 - 4 = 4$$ **Schritt 5. Äußeres Integral.** $\int_0^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi$. Das Volumen ist $8\pi$. In kartesischen Koordinaten bräuchtest du Grenzen mit $\sqrt{4 - x^2}$ und ein viel schwierigeres Integral. ## Typische Fehler bei Doppelintegralen 1. **Das $r$ in Polarkoordinaten vergessen.** Ohne es liefert Beispiel 4 $\int_0^{2\pi}\int_0^2 (4 - r^2)\,dr\,d\theta = \frac{32\pi}{3}$, und das ist falsch. 2. **Variablen in den äußeren Grenzen.** Enthält eine äußere Grenze $x$ oder $y$, ist der Ansatz kaputt. Äußere Grenzen sind immer Zahlen. 3. **Grenzen tauschen, ohne neu zu zeichnen.** Aus $\int_0^1\int_y^1 \,dx\,dy$ einfach $\int_0^1\int_x^1 \,dy\,dx$ zu machen, beschreibt ein anderes Dreieck. 4. **Nicht passende Reihenfolge von $dx\,dy$.** Das innere Differential muss zu den inneren Grenzen passen. 5. **Obere und untere Kurve vertauscht.** Liegt $g_1(x)$ über $g_2(x)$, erhältst du eine negative Fläche. Prüfe es mit einer Skizze. ## Kurzübersicht: Doppelintegrale aufstellen | Bereich | Ansatz | | --- | --- | | Rechteck $[a, b] \times [c, d]$ | $\int_a^b \int_c^d f\,dy\,dx$ (beliebige Reihenfolge) | | Typ I: $g_1(x) \le y \le g_2(x)$ | $\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f\,dy\,dx$ | | Typ II: $h_1(y) \le x \le h_2(y)$ | $\int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f\,dx\,dy$ | | Kreisscheibe mit Radius $a$ | $\int_0^{2\pi} \int_0^a f\,r\,dr\,d\theta$ | | Flächeninhalt von $R$ | $\iint_R 1\,dA$ | | Mittelwert von $f$ auf $R$ | $\frac{1}{\text{Fläche}(R)}\iint_R f\,dA$ | ## Übe den Ansatz, nicht nur das Integrieren Das Integrieren in einem Doppelintegral ist meist Stoff aus Analysis 1 und 2. Übung braucht es, einen Bereich zu lesen und die richtigen Grenzen in der richtigen Reihenfolge aufzuschreiben. Die interaktive Lektion unten gibt dir Bereiche und Integrale zum Aufstellen, prüft deine Grenzen, bevor du integrierst, und zeigt genau, welcher Rand falsch war. ## Häufig gestellte Fragen ### Was stellt ein Doppelintegral dar? Ein Doppelintegral $\iint_R f(x, y)\,dA$ summiert die Werte von $f$ über einen zweidimensionalen Bereich $R$ auf. Für $f \ge 0$ liefert es das Volumen des Körpers unter der Fläche $z = f(x, y)$ und über $R$. Mit $f = 1$ liefert es den Flächeninhalt von $R$. ### Spielt die Integrationsreihenfolge bei einem Doppelintegral eine Rolle? Bei einer stetigen Funktion hängt der Wert nicht von der Reihenfolge ab (das ist der Satz von Fubini), die Grenzen aber schon. Über einem Rechteck kannst du $dx\,dy$ und $dy\,dx$ beliebig tauschen. Über einem allgemeinen Bereich musst du den Bereich neu zeichnen und die Grenzen beim Tauschen neu aufschreiben. ### Wie vertauscht man die Integrationsreihenfolge? Skizziere den Bereich anhand der gegebenen Grenzen und beschreibe denselben Bereich dann andersherum: Bestimme den konstanten Bereich der neuen äußeren Variablen und für jeden ihrer Werte, wo die neue innere Variable in den Bereich eintritt und ihn verlässt. Das sind die neuen Grenzen. ### Wann sollte man für ein Doppelintegral Polarkoordinaten verwenden? Verwende Polarkoordinaten, wenn der Bereich eine Kreisscheibe, ein Kreisring oder ein Kreissektor ist oder wenn der Integrand $x^2 + y^2$ enthält. Setze $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ und $dA = r\,dr\,d\theta$ ein. ### Warum gibt es bei Doppelintegralen in Polarkoordinaten ein zusätzliches r? Ein kleines Flächenstück in Polarkoordinaten ist kein Quadrat. Es ist ein Stück eines Rings mit radialer Breite $dr$ und Bogenlänge $r\,d\theta$, sein Flächeninhalt ist also $r\,dr\,d\theta$. Stücke weiter vom Ursprung entfernt sind größer, und der Faktor $r$ berücksichtigt das.