# Extremwertaufgaben lösen: Ein 5-Schritte-Verfahren mit Beispielen > Extremwertaufgaben sicher lösen mit einem 5-Schritte-Verfahren: Schachtel, Zaun und Dose vollständig durchgerechnet, plus wie du die Ränder prüfst. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/extremwertaufgaben Aktualisiert: 2026-09-08 ## Das Wichtigste - Optimieren heißt, den größten oder kleinsten Wert einer Größe zu finden: Schreibe sie als Funktion einer Variablen und bestimme, wo ihre Ableitung null ist. - Nutze die Nebenbedingung (fester Umfang, festes Volumen, festes Material), um alle Variablen bis auf eine zu eliminieren. - Gib immer den Definitionsbereich an. Auf einem abgeschlossenen Intervall vergleichst du die Funktion an den kritischen Punkten und an den Rändern. - Bestätige ein Maximum oder Minimum mit dem Vorzeichenwechsel- oder dem Krümmungskriterium und beantworte die tatsächlich gestellte Frage, mit Einheiten. Welche Maße ergeben die größte Schachtel, das größte Feld oder die billigste Dose? Das sind **Extremwertaufgaben**, und hier hören Ableitungen auf, nur Symbole zu sein, und beantworten echte Fragen. Am Anfang fühlen sie sich schwer an, weil die Differentialrechnung zwar einfach ist, das Aufstellen der Funktion aber nicht. Ein festes Verfahren in fünf Schritten nimmt dir das Raten ab. ## Was ist eine Extremwertaufgabe? Eine **Extremwertaufgabe** (auch Optimierungsaufgabe) fragt nach dem größten oder kleinsten Wert einer Größe unter einer Bedingung. Die Größe, die möglichst groß oder klein werden soll, ist die **Zielfunktion**. Die Bedingung, die deine Wahl einschränkt, ist die **Nebenbedingung**. Die entscheidende Tatsache aus der Analysis: Eine glatte Funktion kann ein Maximum oder Minimum im Inneren eines Intervalls nur dort annehmen, wo ihre Ableitung null (oder nicht definiert) ist, ansonsten nur an einem Rand: $$f'(c) = 0 \quad\text{oder}\quad c \text{ ist ein Randpunkt des Definitionsbereichs}$$ Die ganze Arbeit besteht also darin, die Textaufgabe in eine Funktion **einer** Variablen zu übersetzen und dann diese Kandidaten zu finden und zu prüfen. ## Das 5-Schritte-Verfahren für Extremwertaufgaben 1. **Skizzieren und benennen.** Zeichne die Situation und bezeichne jede veränderliche Größe mit einer Variablen. 2. **Zielfunktion aufstellen.** Schreibe eine Formel für die Größe, die maximiert oder minimiert werden soll. Meist hat sie zwei Variablen. 3. **Mit der Nebenbedingung auf eine Variable reduzieren.** Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setze ein. Gib den Definitionsbereich an: Welche Werte sind praktisch sinnvoll? 4. **Kritische Punkte bestimmen.** Ableiten, die Ableitung null setzen und auflösen. 5. **Prüfen und antworten.** Bestätige ein Maximum oder Minimum (Ränder, Vorzeichenwechselkriterium oder zweite Ableitung) und beantworte genau die gestellte Frage, mit Einheiten. ## Rechenbeispiel 1: die größte offene Schachtel Ein quadratisches Stück Pappe hat eine Seitenlänge von 12 cm. Du schneidest an den vier Ecken gleich große Quadrate heraus und klappst die Seiten hoch, sodass eine oben offene Schachtel entsteht. Wie groß müssen die Quadrate sein, damit das Volumen maximal wird? **Schritt 1. Skizzieren und benennen.** Sei $x$ die Seitenlänge jedes ausgeschnittenen Quadrats. Das wird die Höhe der Schachtel. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seite $12 - 2x$, weil an jedem Ende $x$ wegfällt. **Schritt 2. Zielfunktion.** Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe: $$V = x(12 - 2x)^2$$ **Schritt 3. Definitionsbereich.** Hier steckt die Nebenbedingung schon drin, $V$ ist also eine Funktion von $x$ allein. Du kannst kein negatives Quadrat ausschneiden und nicht mehr als die halbe Seitenlänge, also $0 \le x \le 6$. **Schritt 4. Kritische Punkte.** Verwende die Produktregel und die Kettenregel: $$V' = (12 - 2x)^2 + x \cdot 2(12 - 2x)(-2) = (12 - 2x)\big[(12 - 2x) - 4x\big] = (12 - 2x)(12 - 6x)$$ $V' = 0$ gilt bei $x = 6$ und $x = 2$. **Schritt 5. Prüfen.** Vergleiche kritische Punkte und Ränder: $V(0) = 0$, $V(6) = 0$ und $V(2) = 2\cdot 8^2 = 128$. **Antwort:** Schneide Quadrate mit 2 cm Seitenlänge aus. Die Schachtel misst 8 mal 8 mal 2 cm und hat ein Volumen von 128 cm³. ```graph title: 'Volumen der offenen Schachtel V = x(12 - 2x)², maximal bei x = 2' caption: 'Das Volumen ist an beiden Rändern 0 und erreicht bei $x = 2$ sein Maximum mit $V = 128$ cm³.' x: [0, 6.2] y: [-10, 150] functions: - expr: x(12 - 2x)^2 label: V = x(12 - 2x)² points: - [2, 128, 'Max (2, 128)'] - [0, 0, 'Randpunkt'] - [6, 0, 'Randpunkt'] ``` ## Rechenbeispiel 2: ein Feld am Fluss einzäunen Eine Landwirtin hat 600 m Zaun, um ein rechteckiges Feld an einem geraden Fluss einzuzäunen. Entlang des Flusses ist kein Zaun nötig. Welche Maße ergeben die größte Fläche? **Schritt 1. Skizzieren und benennen.** Sei $x$ jede der beiden Seiten senkrecht zum Fluss und $y$ die Seite parallel dazu. **Schritt 2. Zielfunktion.** Fläche $A = xy$. **Schritt 3. Nebenbedingung.** Der Zaun deckt zwei Seiten der Länge $x$ und eine der Länge $y$ ab: $2x + y = 600$, also $y = 600 - 2x$. Einsetzen: $$A(x) = x(600 - 2x) = 600x - 2x^2, \qquad 0 \le x \le 300$$ **Schritt 4. Kritische Punkte.** $A'(x) = 600 - 4x = 0$ ergibt $x = 150$. **Schritt 5. Prüfen.** $A''(x) = -4 < 0$, der Graph ist also rechtsgekrümmt und $x = 150$ ist ein Maximum. Die Ränder liefern $A(0) = A(300) = 0$, was das bestätigt. **Antwort:** Die Seiten senkrecht zum Fluss sind 150 m lang, die Seite am Fluss $600 - 300 = 300$ m, für eine maximale Fläche von $45{,}000$ Quadratmetern. Beachte, dass die Lösung kein Quadrat ist. Weil der Fluss eine Zaunseite einspart, lohnt es sich, die parallele Seite doppelt so lang zu machen. ## Rechenbeispiel 3: die Dose mit dem geringsten Blechverbrauch Eine geschlossene zylindrische Dose soll 1000 Kubikzentimeter fassen. Welcher Radius und welche Höhe minimieren ihre Oberfläche? **Schritt 1. Skizzieren und benennen.** Radius $r$, Höhe $h$, beide in Zentimetern. **Schritt 2. Zielfunktion.** Die Oberfläche besteht aus Boden und Deckel plus Mantel: $$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$ **Schritt 3. Nebenbedingung.** Das Volumen ist fest: $\pi r^2 h = 1000$, also $h = \dfrac{1000}{\pi r^2}$. Einsetzen: $$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}, \qquad r > 0$$ **Schritt 4. Kritische Punkte.** $$S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{500}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5.42$$ **Schritt 5. Prüfen.** Der Definitionsbereich $r > 0$ hat keine Ränder, also nimm die zweite Ableitung: $S''(r) = 4\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0$ für jedes $r > 0$. Die Kurve ist überall linksgekrümmt, dieser kritische Punkt ist also das globale Minimum. Für die Höhe nutzt du $\pi r^3 = 500$: $h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = \dfrac{1000\,r}{\pi r^3} = \dfrac{1000\,r}{500} = 2r \approx 10.84$. **Antwort:** $r \approx 5.42$ cm und $h \approx 10.84$ cm, das sind etwa $554$ Quadratzentimeter Blech. Die beste Dose ist genau so hoch wie breit. ```graph title: 'Oberfläche einer 1000-cm³-Dose, S(r) = 2πr² + 2000/r, minimal bei etwa r = 5,42' caption: 'Kleine Radien ergeben eine hohe, schmale Dose, große Radien eine breite, flache. Beide verschwenden Blech, das Minimum liegt bei $r = \sqrt[3]{500/\pi} \approx 5.42$.' x: [0, 12] y: [0, 1500] functions: - expr: 2pi x^2 + 2000/x label: S(r) = 2πr² + 2000/r points: - [5.419, 553.6, 'Min (5,42, 554)'] ``` ## Warum du die Ränder prüfen musst Die Ableitung findet nur **Umkehrstellen**, an denen die Funktion von Steigen zu Fallen wechselt oder umgekehrt. Ist der Definitionsbereich ein abgeschlossenes Intervall, kann der beste Wert an einem Rand liegen, wo die Ableitung überhaupt nicht null ist. Bestimme Maximum und Minimum von $f(x) = x^3 - 3x$ auf $[0, 3]$. - $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ ergibt $x = \pm 1$. Nur $x = 1$ liegt im Intervall. - Werte alle Kandidaten aus: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(3) = 27 - 9 = 18$. Das Minimum ist $-2$ bei $x = 1$, aber das Maximum ist $18$ am **Rand** $x = 3$. Nur die Ableitung null zu setzen hätte es komplett übersehen. Diesen Vergleich von kritischen Punkten und Rändern nennt man **Randwertvergleich**. > **Tipp:** Ist der Definitionsbereich offen (wie $r > 0$ bei der Dose), gibt es keine Ränder zu prüfen. Nutze die zweite Ableitung oder zeige, dass die Funktion erst fällt und dann steigt, um zu beweisen, dass der kritische Punkt global der beste ist. Beide Kriterien findest du unter [Kurvendiskussion mit Ableitungen](/blog/curve-sketching-with-derivatives). ## Typische Fehler bei Extremwertaufgaben 1. **Mit zwei Variablen ableiten.** Du musst mit der Nebenbedingung eine Variable eliminieren, bevor du ableitest. 2. **Den Definitionsbereich weglassen.** Ohne ihn kannst du weder die Ränder prüfen noch unmögliche Lösungen wie $x = 6$ bei der Schachtel aussortieren. 3. **Annehmen, dass der kritische Punkt ein Maximum ist.** Es könnte ein Minimum sein. Prüfe immer. 4. **Die falsche Frage beantworten.** Wird nach der maximalen Fläche gefragt, ist $x = 150$ nicht die Antwort, sondern $45{,}000$ Quadratmeter. 5. **Einheiten weglassen.** Eine Antwort "2" ist unvollständig. Schreibe "Quadrate mit 2 cm Seitenlänge". 6. **Rechenfehler in der Nebenbedingung.** Schreibst du beim Zaun $2x + 2y = 600$, zäunst du auch die Flussseite ein. Lies die Aufgabe genau. ## Kurzübersicht | Aufgabe | Zielfunktion | Nebenbedingung | Funktion einer Variablen | Ergebnis | | --- | --- | --- | --- | --- | | Offene Schachtel | $V = x(12-2x)^2$ | schon enthalten | $V(x)$, $0 \le x \le 6$ | $x = 2$, $V = 128$ | | Zaun am Fluss | $A = xy$ | $2x + y = 600$ | $A = 600x - 2x^2$ | $150 \times 300$ | | Dose | $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ | $\pi r^2 h = 1000$ | $S = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$ | $h = 2r \approx 10.84$ | | Abgeschlossenes Intervall | $f(x)$ | $a \le x \le b$ | $f$ an kritischen Punkten und Rändern vergleichen | größter und kleinster Wert | ## Mit Übung sicher werden Extremwertaufgaben belohnen Wiederholung mehr als fast jedes andere Thema, denn das Schwierige ist das Aufstellen, und Ansätze folgen einer Handvoll Muster. Die interaktive Lektion unten führt dich mit sofortiger Rückmeldung durch jeden Schritt, damit du Zielfunktion, Nebenbedingung und Definitionsbereich schnell erkennst, bevor in der Klausur die Uhr läuft. ## Häufig gestellte Fragen ### Wie löst man Extremwertaufgaben? Zeichne eine Skizze und benenne die Variablen, stelle die zu optimierende Größe auf, reduziere sie mit der Nebenbedingung auf eine Variable, bestimme die kritischen Punkte, indem du die Ableitung null setzt, und prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum liefert (einschließlich der Ränder). Beantworte dann die Frage in Worten und mit Einheiten. ### Was ist der Unterschied zwischen Zielfunktion und Nebenbedingung? Die Zielfunktion ist die Größe, die so groß oder so klein wie möglich werden soll, etwa eine Fläche oder Kosten. Die Nebenbedingung ist die feste Bedingung, die die Variablen miteinander verknüpft, etwa eine vorgegebene Zaunlänge oder ein gefordertes Volumen. ### Warum muss man die Ränder prüfen? Auf einem abgeschlossenen Intervall kann der größte oder kleinste Wert an einem Rand liegen, wo die Ableitung nicht null sein muss. Beim Randwertvergleich vergleichst du alle kritischen Punkte und beide Ränder, und der größte Wert gewinnt. ### Woran erkenne ich, ob ein kritischer Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist? Nutze die zweite Ableitung: Ist $f''(c) < 0$, liegt ein lokales Maximum vor, ist $f''(c) > 0$, ein lokales Minimum. Oder nutze das Vorzeichenwechselkriterium und prüfe, ob $f'$ von positiv nach negativ (Maximum) oder von negativ nach positiv (Minimum) wechselt. ### Welche Dosenform braucht am wenigsten Blech? Bei einem geschlossenen Zylinder mit festem Volumen ist die Oberfläche am kleinsten, wenn die Höhe gleich dem Durchmesser ist, also $h = 2r$. Echte Dosen sind wegen der Herstellungskosten und der Platzierung im Regal oft höher.