# Geometrische Reihe: Summenformel, Konvergenz und Beispiele > Die Summenformel der geometrischen Reihe, warum sie nur für |r| < 1 konvergiert, wie sich Partialsummen verhalten und periodische Dezimalzahlen als Brüche. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/geometrische-reihe Aktualisiert: 2026-10-06 ## Das Wichtigste - Bei einer geometrischen Reihe wird jedes Glied mit demselben Quotienten $r$ multipliziert: $a + ar + ar^2 + \cdots$. - Sie konvergiert genau dann, wenn $|r| < 1$ ist, und ihre Summe ist dann $\frac{a}{1-r}$, wobei $a$ das erste Glied ist. - Die $n$-te Partialsumme ist $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$. Die unendliche Summe ist der Wert, gegen den $S_n$ geht, wenn $r^n \to 0$. - Jede periodische Dezimalzahl ist eine geometrische Reihe und daher immer gleich einem Bruch. Addiere $1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots$ für immer. Unendlich viele positive Glieder, und trotzdem überschreitet die Summe nie 2. **Geometrische Reihen** sind die einzige Art unendlicher Summen, die du mit einer einzigen Formel exakt aufsummieren kannst, und sie sind die Grundlage für alles Weitere beim Thema Reihen, von Konvergenzkriterien bis zu Potenzreihen. ## Was ist eine geometrische Reihe? Eine **geometrische Reihe** ist eine Summe, bei der jedes Glied das vorherige Glied multipliziert mit einer festen Zahl $r$ ist, dem **Quotienten**: $$\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$ Dabei ist $a$ das **erste Glied**. Um $r$ zu finden, teilst du ein beliebiges Glied durch das vorherige. Bei $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$ ist das erste Glied $a = 1$ und der Quotient $r = \frac12$. ## Die Summenformel der geometrischen Reihe Die **$n$-te Partialsumme** addiert die ersten $n$ Glieder: $$S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \qquad (r \ne 1)$$ Die unendliche Summe ist der Grenzwert von $S_n$ für $n \to \infty$. Ist $|r| < 1$, dann gilt $r^n \to 0$, und die Partialsummen pendeln sich ein: $$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \qquad \text{für } |r| < 1$$ Eine praktische Eselsbrücke: **Summe = erstes Glied durch eins minus Quotient.** ### Woher die Formel kommt Schreib $S_n$ aus, multipliziere mit $r$ und subtrahiere: $$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$$ $$rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n$$ Alle mittleren Glieder heben sich auf, übrig bleibt $S_n - rS_n = a - ar^n$. Ausklammern und teilen: $$S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \quad\Longrightarrow\quad S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$ Diesen Subtraktionstrick solltest du dir merken. Er funktioniert bei endlichen und unendlichen geometrischen Summen gleichermaßen. ## Wann konvergiert eine geometrische Reihe? Alles hängt vom Betrag von $r$ ab: | Quotient | Was $r^n$ macht | Die Reihe | | ---------------- | -------------------------- | ------------------------------------ | | $\lvert r\rvert < 1$ | schrumpft gegen 0 | konvergiert gegen $\frac{a}{1-r}$ | | $r = 1$ | bleibt 1 | divergiert ($a + a + a + \cdots$) | | $r = -1$ | springt zwischen $1$ und $-1$ | divergiert (Partialsummen springen hin und her) | | $\lvert r\rvert > 1$ | wächst unbegrenzt | divergiert | (Wir nehmen durchgehend $a \ne 0$ an.) Eine geometrische Reihe konvergiert also **genau dann**, wenn $|r| < 1$ ist. Wegen dieser klaren Regel dienen geometrische Reihen als Vergleichsmaßstab beim [Vergleichs- und Quotientenkriterium](/blog/convergence-tests). ## Wie sich die Partialsummen dem Grenzwert nähern Für $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$ liefert die Formel für die Partialsummen $S_n = \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 - 2\left(\frac12\right)^n$. Die ersten Werte sind $1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375$. Jeder schließt die Hälfte der verbleibenden Lücke zu 2. ```graph title: 'Partialsummen von 1 + 1/2 + 1/4 + ... nähern sich 2' caption: 'Die Punkte sind die Partialsummen $S_n = 2 - 2\left(\frac12\right)^n$. Sie steigen auf die gestrichelte Linie $y = 2$ zu, die Summe der Reihe, überschreiten sie aber nie.' x: [0, 7] y: [0, 2.5] functions: - expr: 2 - 2(0.5)^x label: Formel der Partialsummen - expr: '2' label: y = 2 (die Summe) dashed: true points: - [1, 1, '1'] - [2, 1.5, '1.5'] - [3, 1.75, '1.75'] - [4, 1.875, '1.875'] - [5, 1.9375, '1.94'] ``` Ist $r$ negativ, **pendeln** die Partialsummen um den Grenzwert, statt auf ihn zuzusteigen. Bei $1 - \frac12 + \frac14 - \frac18 + \cdots$ (mit $r = -\frac12$) sind die Partialsummen $1, 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, \dots$, sie springen also über und unter die Summe $\frac{1}{1 + 1/2} = \frac23$. ```graph title: 'Partialsummen von 1 − 1/2 + 1/4 − ... pendeln um 2/3' caption: 'Mit $r = -\frac12$ schießen die Partialsummen über die Summe $\frac23$ hinaus und bleiben darunter, kommen ihr aber jedes Mal näher.' x: [0, 7] y: [0, 1.2] functions: - expr: 2/3 label: y = 2/3 (die Summe) dashed: true points: - [1, 1, '1'] - [2, 0.5, '0.5'] - [3, 0.75, '0.75'] - [4, 0.625, '0.625'] - [5, 0.6875, '0.6875'] ``` ## Rechenbeispiel 1: eine Summe, die bei n = 1 beginnt Bestimme $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac25\right)^n$. **Schritt 1. Das erste Glied bestimmen.** Setze $n = 1$ ein: $a = 3\cdot\frac25 = \frac65$. **Schritt 2. Den Quotienten bestimmen.** Jedes Glied wird mit $\frac25$ multipliziert, also ist $r = \frac25$. **Schritt 3. Konvergenz prüfen.** $|r| = \frac25 < 1$, die Reihe konvergiert also. **Schritt 4. Die Formel anwenden.** $$\sum_{n=1}^\infty 3\left(\frac25\right)^n = \frac{6/5}{1 - 2/5} = \frac{6/5}{3/5} = 2$$ ## Rechenbeispiel 2: ein negativer Quotient Bestimme $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}$. **Schritt 1. In Standardform bringen.** $\frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac13\cdot\frac{(-2)^n}{3^n} = \frac13\left(-\frac23\right)^n$. **Schritt 2. $a$ und $r$ ablesen.** Bei $n = 0$ ist das Glied $\frac13$, also $a = \frac13$ und $r = -\frac23$. **Schritt 3. Prüfen.** $|r| = \frac23 < 1$. Sie konvergiert. **Schritt 4. Summieren.** $$\frac{1/3}{1 - (-2/3)} = \frac{1/3}{5/3} = \frac15$$ ## Rechenbeispiel 3: eine divergente Reihe Konvergiert $\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n}$? Das ist eine geometrische Reihe mit $a = 1$ und $r = \frac32$. Da $|r| > 1$ ist, wachsen die Glieder, und die Reihe **divergiert**. Einsetzen in $\frac{a}{1-r}$ würde $\frac{1}{1 - 3/2} = -2$ ergeben, eine bedeutungslose Antwort. Prüfe immer $|r| < 1$, bevor du die Formel verwendest. ## Rechenbeispiel: eine endliche geometrische Summe Die Formel für die Partialsummen funktioniert für jede endliche geometrische Summe, sogar für $|r| > 1$. Bestimme $2 + 6 + 18 + \cdots + 2\cdot 3^9$. **Schritt 1. $a$, $r$ und $n$ bestimmen.** Das erste Glied ist $a = 2$, der Quotient ist $r = 3$, und die Exponenten laufen von $0$ bis $9$, es gibt also $n = 10$ Glieder. **Schritt 2. $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ anwenden.** $$S_{10} = \frac{2(1 - 3^{10})}{1 - 3} = \frac{2(1 - 59{,}049)}{-2} = 59{,}048$$ Die Hauptfalle ist hier das richtige Zählen der Glieder: Von $3^0$ bis $3^9$ sind es zehn Glieder, nicht neun. ## Periodische Dezimalzahlen als geometrische Reihen Jede periodische Dezimalzahl ist insgeheim eine geometrische Reihe, und deshalb ist jede periodische Dezimalzahl ein Bruch. ### Rechenbeispiel 4: 0,272727... $$0.\overline{27} = \frac{27}{100} + \frac{27}{10{,}000} + \frac{27}{1{,}000{,}000} + \cdots$$ Hier ist $a = \frac{27}{100}$ und $r = \frac{1}{100}$, also $$0.\overline{27} = \frac{27/100}{1 - 1/100} = \frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$ ### Rechenbeispiel 5: 0,999... ist gleich 1 $$0.\overline{9} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1$$ Das ist keine Näherung. Die unendliche Dezimalzahl und 1 sind dieselbe Zahl. ### Rechenbeispiel 6: eine Dezimalzahl, deren Periode später beginnt Schreib $1.2\overline{3} = 1.2333\ldots$ als Bruch. Trenne den nicht periodischen Teil ab: $1.2333\ldots = 1.2 + 0.0333\ldots$. Der periodische Teil ist geometrisch mit $a = \frac{3}{100}$ und $r = \frac{1}{10}$: $$0.0\overline{3} = \frac{3/100}{1 - 1/10} = \frac{3/100}{9/10} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$$ Also ist $1.2\overline{3} = \frac{6}{5} + \frac{1}{30} = \frac{36}{30} + \frac{1}{30} = \frac{37}{30}$. ## Ein Beispiel aus dem Alltag: der springende Ball Ein Ball wird aus 10 Metern Höhe fallen gelassen, und jeder Sprung erreicht $\frac34$ der vorherigen Höhe. Welche Strecke legt er insgesamt zurück? **Schritt 1. Der erste Fall** beträgt 10 Meter. **Schritt 2. Die Rücksprünge.** Der Ball steigt auf $7.5$ m, dann auf $5.625$ m und so weiter, eine geometrische Reihe mit $a = 7.5$ und $r = \frac34$. Ihre Summe ist $\frac{7.5}{1 - 3/4} = 30$ Meter. **Schritt 3. Jeden Rücksprung doppelt zählen**, einmal nach oben und einmal nach unten: $2 \cdot 30 = 60$ Meter. **Schritt 4. Gesamt:** $10 + 60 = 70$ Meter, obwohl der Ball unendlich oft springt. ## Von geometrischen Reihen zu Potenzreihen Ersetze den Quotienten durch eine Variable, und die Summenformel wird zu einer Aussage über Funktionen: $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \qquad \text{für } |x| < 1$$ Diese eine Identität ist der Keim der [Potenzreihen](/blog/power-series). Setze $-x$ für $x$ ein, und du erhältst $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots$. Setze $-x^2$ ein, und du erhältst $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$, was gliedweise integriert die Reihe für $\arctan x$ ergibt. Die Bedingung $|x| < 1$ kommt direkt aus $|r| < 1$, und sie ist das erste Beispiel für ein Konvergenzintervall. ## Typische Fehler bei geometrischen Reihen 1. **Das falsche erste Glied verwenden.** Beginnt die Summe bei $n = 1$ oder höher, ist $a$ das erste Glied, das du tatsächlich addierst, nicht der Koeffizient davor. 2. **Die Formel für $|r| \ge 1$ anwenden.** Die Formel gilt nur für konvergente Reihen. Eine negative "Summe" aus positiven Gliedern ist ein Warnsignal. 3. **Den Quotienten falsch ablesen.** Bei $\frac{2^n}{3^{n+1}}$ ist der Quotient $\frac23$, nicht $\frac{2}{3^{n+1}}$. Schreib die Glieder zuerst als $a\cdot r^n$. 4. **Das Vorzeichen in $1 - r$ vergessen.** Mit $r = -\frac23$ ist der Nenner $1 + \frac23$. 5. **Folge und Reihe verwechseln.** Die Glieder $\left(\frac12\right)^n$ gehen gegen 0. Ihre Summe geht gegen 2. ## Kurzübersicht | Größe | Formel | | ---------------------------- | -------------------------------------- | | Allgemeines Glied | $ar^n$ (beginnend bei $n = 0$) | | Quotient | $r = \frac{\text{Glied}_{n+1}}{\text{Glied}_n}$ | | $n$-te Partialsumme | $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ | | Unendliche Summe, $\lvert r\rvert < 1$ | $\frac{a}{1-r}$ | | Divergiert für | $\lvert r\rvert \ge 1$ | ## Üben, bis die Formel automatisch sitzt Geometrische Reihen tauchen immer wieder auf: beim Quotientenkriterium, in Vergleichsargumenten und als Ausgangspunkt für [Potenzreihen](/blog/power-series). Wer $a$ und $r$ schnell findet, profitiert davon für den Rest des Kurses. Die interaktive Lektion unten gibt dir zu jedem Schritt sofort Rückmeldung, sodass ein falsches erstes Glied oder ein Vorzeichenfehler direkt auffällt. ## Häufig gestellte Fragen ### Wie lautet die Summenformel der geometrischen Reihe? Ist das erste Glied $a$ und der Quotient $r$ mit $|r| < 1$, dann ist die unendliche Summe $\frac{a}{1-r}$. Bei endlich vielen Gliedern ist die Summe der ersten $n$ Glieder $\frac{a(1-r^n)}{1-r}$. ### Woran erkennt man, ob eine geometrische Reihe konvergiert? Bestimme den Quotienten $r$, indem du ein beliebiges Glied durch das vorherige teilst. Die Reihe konvergiert für $|r| < 1$ und divergiert für $|r| \ge 1$. Andere Fälle gibt es nicht, deshalb sind geometrische Reihen die am leichtesten einzuordnenden Reihen. ### Warum ist 0,999... gleich 1? Schreib $0.999\ldots$ als $\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$, eine geometrische Reihe mit $a = \frac{9}{10}$ und $r = \frac{1}{10}$. Ihre Summe ist $\frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1$. Die unendliche Dezimalzahl ist genau 1, nicht nur nahe daran. ### Was ist der Unterschied zwischen einer geometrischen Folge und einer geometrischen Reihe? Eine geometrische Folge ist eine Liste von Zahlen wie $1, \frac12, \frac14, \frac18, \ldots$, bei der jedes Glied das vorherige mal $r$ ist. Eine geometrische Reihe ist die Summe dieser Glieder, $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$, hier also 2. ### Wie findet man das erste Glied, wenn die Summe bei n = 1 beginnt? Setze den Startindex in die Formel für die Glieder ein. Bei $\sum_{n=1}^\infty 3\left(\frac25\right)^n$ ist das erste Glied $3\cdot\frac25 = \frac65$, nicht 3. Ein falsches erstes Glied ist der häufigste Fehler bei der Summenformel.