# Gradient und Richtungsableitung: Formel und Beispiele > Was der Gradient ist, wie du eine Richtungsableitung mit einem Einheitsvektor berechnest und warum der Gradient in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/gradient-und-richtungsableitung Aktualisiert: 2026-10-04 ## Das Wichtigste - Der Gradient $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ fasst alle ersten partiellen Ableitungen zu einem Vektor zusammen. - Die Richtungsableitung in Richtung eines Einheitsvektors $\mathbf{u}$ ist $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. Der Vektor muss die Länge 1 haben. - Der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs, und seine Länge $|\nabla f|$ ist diese größte Anstiegsrate. - Der Gradient steht senkrecht auf der Höhenlinie (oder Niveaufläche) durch den Punkt. Du stehst an einem Hang, der durch $z = f(x, y)$ beschrieben wird. Partielle Ableitungen sagen dir, wie steil der Boden ist, wenn du genau nach Osten oder genau nach Norden gehst. Aber was, wenn du nach Nordosten gehst? Und in welche Richtung solltest du gehen, um so schnell wie möglich aufzusteigen? Der Gradient beantwortet beide Fragen mit einem einzigen Vektor. Dieser Leitfaden erklärt den Gradienten, die Formel für die Richtungsableitung, warum der Gradient bergauf zeigt, und rechnet vier vollständige Beispiele durch. ## Was ist der Gradient? Der **Gradient** einer Funktion ist der Vektor ihrer ersten [partiellen Ableitungen](/blog/partial-derivatives). Für zwei und drei Variablen: $$\nabla f(x, y) = \langle f_x(x, y),\ f_y(x, y) \rangle, \qquad \nabla f(x, y, z) = \langle f_x, f_y, f_z \rangle$$ Das Symbol $\nabla$ liest man "Nabla" oder "grad". Der Gradient ist eine vektorwertige Funktion: An jedem Punkt liefert er einen Vektor, der in der Ebene der Eingaben liegt (der $xy$-Ebene), nicht auf der Fläche. Ist zum Beispiel $f(x, y) = x^2 + 3xy$, dann gilt $f_x = 2x + 3y$ und $f_y = 3x$, also $$\nabla f(x, y) = \langle 2x + 3y,\ 3x \rangle, \qquad \nabla f(1, 2) = \langle 8, 3 \rangle$$ ## Die Formel für die Richtungsableitung Die **Richtungsableitung** von $f$ in einem Punkt in Richtung eines **Einheitsvektors** $\mathbf{u}$ ist die Änderungsrate von $f$ pro Längeneinheit, die man sich in diese Richtung bewegt: $$D_{\mathbf{u}} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}$$ Ist $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle$, so ist das $D_{\mathbf{u}} f = f_x u_1 + f_y u_2$. Partielle Ableitungen sind Spezialfälle. Mit $\mathbf{u} = \langle 1, 0 \rangle$ erhältst du $D_{\mathbf{u}} f = f_x$, und mit $\mathbf{u} = \langle 0, 1 \rangle$ erhältst du $f_y$. So berechnest du eine Richtungsableitung: 1. Bestimme den Gradienten $\nabla f$ und werte ihn im Punkt aus. 2. Mach aus der Richtung einen **Einheitsvektor**: Teile durch seine Länge, oder verwende bei einem Winkel $\theta$ den Vektor $\mathbf{u} = \langle \cos\theta, \sin\theta \rangle$. 3. Bilde das [Skalarprodukt](/blog/vectors-dot-and-cross-product) der beiden. > **Tipp:** Schritt 2 wird gern übersprungen. Heißt es in der Aufgabe "in Richtung $\langle 3, 4 \rangle$", musst du $\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle$ verwenden. ## Rechenbeispiel 1: eine durch einen Vektor gegebene Richtung Bestimme die Richtungsableitung von $f(x, y) = x^2 + 3xy$ im Punkt $(1, 2)$ in Richtung $\mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle$. **Schritt 1. Gradient im Punkt.** Von oben: $\nabla f(1, 2) = \langle 2(1) + 3(2),\ 3(1) \rangle = \langle 8, 3 \rangle$. **Schritt 2. Einheitsvektor.** $|\mathbf{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5$, also $\mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle$. **Schritt 3. Skalarprodukt.** $$D_{\mathbf{u}} f(1, 2) = 8 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} + \frac{12}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$$ Bewegst du dich von $(1, 2)$ in Richtung $\langle 3, 4 \rangle$, wächst $f$ um etwa $7.2$ Einheiten pro Längeneinheit. ## Rechenbeispiel 2: eine durch einen Winkel gegebene Richtung Bestimme die Richtungsableitung von $f(x, y) = x e^y$ im Punkt $(2, 0)$ in der Richtung, die mit der positiven $x$-Achse den Winkel $\theta = \frac{\pi}{3}$ bildet. **Schritt 1. Gradient.** $f_x = e^y$ und $f_y = x e^y$, also $\nabla f(2, 0) = \langle e^0, 2e^0 \rangle = \langle 1, 2 \rangle$. **Schritt 2. Einheitsvektor aus dem Winkel.** $$\mathbf{u} = \left\langle \cos\tfrac{\pi}{3}, \sin\tfrac{\pi}{3} \right\rangle = \left\langle \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right\rangle$$ Der Vektor hat bereits die Länge 1, du musst also nicht teilen. **Schritt 3. Skalarprodukt.** $$D_{\mathbf{u}} f(2, 0) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \sqrt{3} \approx 2.23$$ ## Warum der Gradient in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt Verwende die geometrische Form des Skalarprodukts. Ist $\theta$ der Winkel zwischen $\nabla f$ und dem Einheitsvektor $\mathbf{u}$, dann gilt $$D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\,|\mathbf{u}|\cos\theta = |\nabla f|\cos\theta$$ Da $\cos\theta$ zwischen $-1$ und $1$ liegt, ergeben sich drei Tatsachen: - **Steilster Anstieg:** Der größte Wert, $|\nabla f|$, tritt bei $\theta = 0$ auf, wenn $\mathbf{u}$ entlang $\nabla f$ zeigt. - **Steilster Abstieg:** Der kleinste Wert, $-|\nabla f|$, tritt bei $\theta = \pi$ auf, wenn $\mathbf{u}$ entlang $-\nabla f$ zeigt. - **Keine Änderung:** $D_{\mathbf{u}} f = 0$ gilt bei $\theta = \frac{\pi}{2}$, also in Richtungen senkrecht zu $\nabla f$. Das sind die Richtungen entlang der Höhenlinie. Die letzte Tatsache bedeutet: **Der Gradient steht immer senkrecht auf den Höhenlinien von $f$.** Auf einer topografischen Karte zeigt der Gradient direkt bergauf und kreuzt die Höhenlinien im rechten Winkel. ## Rechenbeispiel 3: steilster Anstieg an einem Hügel Die Höhe eines Hügels ist $f(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2$. Eine Wanderin steht im Punkt $(3, 1)$. **Schritt 1. Gradient.** $\nabla f = \langle -2x, -4y \rangle$, also $\nabla f(3, 1) = \langle -6, -4 \rangle$. **Schritt 2. Richtung des steilsten Anstiegs.** Sie ist $\langle -6, -4 \rangle$, oder als Einheitsvektor $$\mathbf{u} = \frac{\langle -6, -4 \rangle}{\sqrt{36 + 16}} = \frac{\langle -3, -2 \rangle}{\sqrt{13}}$$ Er zeigt bergauf, ungefähr zurück zum Gipfel im Ursprung. (Nicht genau darauf: Der Hügel ist in $y$-Richtung steiler, also steuert der Gradient stärker auf die $x$-Achse zu, als es eine gerade Linie zum Gipfel täte.) **Schritt 3. Größte Rate.** $|\nabla f(3, 1)| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21$. **Schritt 4. Steilster Abstieg.** Die Gegenrichtung $\langle 6, 4 \rangle$, mit der Rate $-2\sqrt{13}$. **Schritt 5. Richtungen gleicher Höhe.** Senkrecht zu $\langle -3, -2 \rangle$ sind $\langle 2, -3 \rangle$ und $\langle -2, 3 \rangle$ (Probe: $-6 + 6 = 0$). Geht die Wanderin in eine dieser Richtungen, bleibt sie auf derselben Höhe, zumindest im ersten Moment. Der Punkt $(3, 1)$ liegt auf der Höhenlinie $x^2 + 2y^2 = 11$ (wo die Höhe $89$ ist). Der Graph zeigt diese Kurve, die Gradientenrichtung und die Tangentenrichtung. Sie treffen sich im rechten Winkel. ```graph title: 'Höhenlinie x² + 2y² = 11 des Hügels f(x, y) = 100 − x² − 2y² mit Gradientengerade und Tangente in (3, 1)' caption: 'In $(3, 1)$ zeigt der Gradient $\langle -6, -4 \rangle$ entlang der Gradientengeraden bergauf, senkrecht zur Höhenlinie. Die Tangentenrichtung $\langle 2, -3 \rangle$ lässt $f$ konstant.' x: [-5, 5] y: [-3, 3] functions: - expr: sqrt((11 - x^2)/2) label: Höhenlinie x² + 2y² = 11 - expr: -sqrt((11 - x^2)/2) color: '#5b4fe0' - expr: 2x/3 - 1 label: Gradientenrichtung dashed: true - expr: 5.5 - 1.5x label: Tangente an die Höhenlinie dashed: true points: - [3, 1, '(3, 1)'] - [0, 0, 'Gipfel'] ``` ## Rechenbeispiel 4: drei Variablen Bestimme die Richtungsableitung von $f(x, y, z) = xyz$ im Punkt $P(1, 2, 3)$ in Richtung des Punktes $Q(2, 4, 5)$. **Schritt 1. Gradient.** $\nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle$, also $\nabla f(1, 2, 3) = \langle 6, 3, 2 \rangle$. **Schritt 2. Richtungsvektor.** $\overrightarrow{PQ} = \langle 1, 2, 2 \rangle$, mit der Länge $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. Also ist $\mathbf{u} = \left\langle \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right\rangle$. **Schritt 3. Skalarprodukt.** $$D_{\mathbf{u}} f(1, 2, 3) = 6 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} = 2 + 2 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$ Die größtmögliche Rate in $P$ ist $|\nabla f| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7$, diese Richtung bringt dir also $\frac{16}{3} \approx 5.33$ von möglichen $7$. Bei drei Variablen steht der Gradient senkrecht auf der **Niveaufläche** $f(x, y, z) = c$, und deshalb wird $\nabla f$ als Normalenvektor für Tangentialebenen verwendet. ## Typische Fehler bei Gradienten und Richtungsableitungen 1. **Die Richtung nicht normieren.** Mit $\langle 3, 4 \rangle$ statt $\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle$ wird die Antwort 5-mal zu groß. 2. **Den Punkt statt der Richtung verwenden.** In Beispiel 4 ist die Richtung $Q - P$, nicht $Q$ selbst. 3. **Vergessen, den Gradienten im Punkt auszuwerten.** Die Antwort auf eine Frage nach einer Richtungsableitung ist eine Zahl, keine Formel. 4. **Glauben, der Gradient liege auf der Fläche.** Bei $z = f(x, y)$ ist $\nabla f$ ein zweidimensionaler Vektor in der $xy$-Ebene, der dir sagt, in welche Richtung du gehen sollst. 5. **Größte Rate und ihre Richtung verwechseln.** Die Richtung ist $\nabla f$ (oder sein Einheitsvektor). Die Rate ist die Zahl $|\nabla f|$. ## Kurzübersicht: Fakten zum Gradienten | Frage | Antwort | | --- | --- | | Gradient von $f(x, y)$ | $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ | | Änderungsrate in Richtung $\mathbf{u}$ ($\lvert\mathbf{u}\rvert = 1$) | $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$ | | Einheitsvektor zum Winkel $\theta$ | $\langle \cos\theta, \sin\theta \rangle$ | | Richtung des schnellsten Anstiegs | $\nabla f$ | | Größte Anstiegsrate | $\lvert \nabla f \rvert$ | | Richtung des schnellsten Abstiegs | $-\nabla f$ | | Richtungen ohne Änderung | senkrecht zu $\nabla f$ (entlang der Höhenlinie) | ## Üben, bis es sich wie Kartenlesen anfühlt Sobald du einen Gradienten im Kopf berechnen kannst und daran denkst, die Richtung zu normieren, werden diese Aufgaben zu schnellen Punkten in der Prüfung. Sie sind außerdem die zentrale Idee hinter [Lagrange-Multiplikatoren](/blog/lagrange-multipliers). Die interaktive Lektion unten gibt dir Flächen, Punkte und Richtungen zum Bearbeiten und prüft jeden Schritt sofort, sodass dir ein fehlender Einheitsvektor schon beim ersten Mal auffällt. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist der Gradient einer Funktion? Der Gradient von $f(x, y)$ ist der Vektor $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ ihrer partiellen Ableitungen, bei drei Variablen kommt $f_z$ hinzu. An jedem Punkt zeigt er in die Richtung, in der $f$ am schnellsten wächst, und seine Länge ist diese größte Wachstumsrate. ### Was ist eine Richtungsableitung? Eine Richtungsableitung ist die Änderungsrate von $f$, wenn du dich von einem Punkt aus in eine gewählte Richtung bewegst. Sie verallgemeinert partielle Ableitungen, die nur die Änderung entlang der Koordinatenachsen messen. Du berechnest sie als $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$ mit einem Einheitsvektor $\mathbf{u}$. ### Warum muss der Richtungsvektor ein Einheitsvektor sein? Die Richtungsableitung ist eine Rate pro Längeneinheit. Verwendest du einen längeren Vektor, wird das Skalarprodukt mit seiner Länge skaliert und die Antwort ist zu groß. Teile den Richtungsvektor immer zuerst durch seine Länge. ### Warum zeigt der Gradient in die Richtung des steilsten Anstiegs? Da $D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\cos\theta$ gilt, wobei $\theta$ der Winkel zwischen $\nabla f$ und $\mathbf{u}$ ist, ist die Rate am größten, wenn $\cos\theta = 1$ ist, also wenn $\mathbf{u}$ in dieselbe Richtung zeigt wie $\nabla f$. Die größte Rate ist dann $|\nabla f|$. ### Wie hängen Gradient und Höhenlinien zusammen? An jedem Punkt steht der Gradient senkrecht auf der Höhenlinie durch diesen Punkt. Entlang der Höhenlinie bleibt $f$ konstant, also ist die Richtungsableitung entlang der Linie 0, und das zwingt den Gradienten, im rechten Winkel zu ihr zu stehen.